Cap.XXVI. Polinômio de Taylor  e
       
         Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
 
 
 

Definição  26.1  ( Polinômio  de  Taylor  de  ordem  n  em  volta  de  xo ) :     Ý )
       Seja  f  uma  função  derivável  até  a  ordem  n  em  um  intervalo  aberto  I  e  seja  xo  I .  O  polinômio
   é  denominado  Polinômio  de  Taylor ,  de  ordem  n , de  f  em  volta  de  xo .
 

 
 

Teorema  26.1  ( Fórmula  de  Taylor  de  ordem  n  em  volta  de  xo  com  Resto  de  Lagrange ) :     Ý )
       Se  f  é  uma  função  derivável  até  a  ordem  n + 1  no  intervalo  aberto  I  e  x , xo  I ,  então  existe  pelo  menos  um  s  entre  x  e  xo   tal  que 
 
 

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Observação 26.1  ( Polinômio e Fórmula de Taylor de ordem 1 em volta de xo ) :     Ý )
 
 
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Exemplo 26.1 :      Ý )
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  1  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
( solução  de  a )          ( solução  de  b ) 
 
Solução :
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  1  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
 
          
 
 
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     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
          
 
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Observação 26.2  ( Polinômio e Fórmula de Taylor de ordem 2 em volta de xo ) :     Ý )
 
 
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Exemplo 26.2 :      Ý )
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  2  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
( solução  de  a )          ( solução  de  b ) 
 
Solução :
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  2  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
 
          
 
 
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     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
          
 
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Observação 26.3  ( Polinômio e Fórmula de Taylor de ordem 3 em volta de xo ) :     Ý )
 
 
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Exemplo 26.3 :      Ý )
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  3  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
( solução  de  a )          ( solução  de  b ) 
 
Solução :
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  3  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
 
    
 
 
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     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
          
 
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Observação 26.4  ( Polinômio e Fórmula de Taylor de ordem 4 em volta de xo ) :     Ý )
 
 
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Exemplo 26.4 :      Ý )
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  4  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
( solução  de  a )          ( solução  de  b ) 
 
Solução :
 
     (a)  Encontre  o  Polinômio  de  Taylor  de  ordem  4  de  f ( x )  =  ln ( x )   em  volta  de  xo  =  1  e  o  Resto  de  Lagrange .
 
          
 
 
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     (b)  Calcule  um  valor  aproximado  para  ln ( 1,003 )  e  avalie  o  erro .
 
 
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  Ln x  e  seus  Polinômios  de  Taylor  de  ordem  1 ,  2 ,  3  e  4  em  volta  de  1 :       Ý )
 
 
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