Cap.XXI.  Soma de Riemann. Integral Definida. Propriedades. Área.
 
 
XXI.1  Soma de Riemann     Ý )
 
 
Introdução :  ( Área )     Ý )
 
    Seja  f  uma  função  tal  que :
 
 
    Seja   R  a  região  limitada  pela  curva  y = f  ( x ) ,  as  retas  x = a  e  x = b  e  o  eixo  x .
 
    Vamos  calcular  a  área  da  região  R .
 
 
    Para  isto ,  vamos  fazer  uma  partição  do  intervalo  [ a , b ]  em  n  subintervalos  escolhendo  n – 1  pontos  entre  a  e  b .
 
a  =  x 0x 1x 2 < ··· <  x n  1x n  =  b
 
 
    Em  cada  subintervalo  [ x k  1 , x k ] ,  k = 1 , 2 , 3, ... , n  vamos  escolher  um  ponto  t k .
 
    Para  cada  k = 1 , 2 , ... , n ,  seja  Δ k x  =  x k  –   x k  1 ,  o  comprimento  do  subintervalo  [ x k  1 , x k ]  e  seja  R k  o  retângulo  com  altura  f ( t k )  e  largura  Δ k x .
 
    Vamos  encontrar  um  valor  aproximado  para  a  área  que  desejamos  calcular  somando  as  áreas  dos  retângulos  R k .
 
 
 
    Observe ,  na  animação  abaixo ,  que  quanto  maior  for  o  valor  de  n  mais  próxima  da  área  da  região  R estará  a  soma  das  áreas  dos  retângulos  .
 
 
    Seja  || Δ ||  o  comprimento  do  maior  subintervalo ,  isto  é ,
 
|| Δ ||  =  Max { Δ k x ,  1 k n } .
 
    Quanto  mais  próximo  || Δ ||  estiver  de  0 ,  mais  próxima  estará  a  soma  das  áreas  dos  retângulos  da  área  da  região  R .
 
    Logo ,
 
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Definição 21.1  ( Soma de Riemann )     Ý )
 
 

 
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XXI.2.  Integral Definida       Ý )
 
 
 

 
Definição 21.2  ( Integral Definida )     Ý )
   
 

 
Observação 21.2.1 :       Ý )
 
 
 
 
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Exemplo :      Ý )
 
    Seja  R  a  região  entre  o  eixo  x  e  a  curva  y = x 2x [ 0 , 1 ] .
 
 
    Vamos  encontrar  um  valor  aproximado  da  área  desta  região  através  da  uma  Soma  de  Riemann .
 
    Para  isto ,  vamos  fazer  partições  do  subintervalo  [ 0 , 1 ]  em  n  subintervalos  iguais ,  isto  é ,
 
 
    O  comprimento  de  cada  subintervalo  é
 
 
    
 
 
    Neste  caso ,  a  Soma  de  Riemann  é
 
 
    Seja  A ( R )  a  área  da  região  R ,
 
 
    
 
 
    Vamos  observar  que  realmente  aumentando  n ,  a  Soma  de  Riemann  desta  partição  fica  mais  próxima  do  valor  da  área  da  região  R .
 
 
 
 
 
 
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Teorema 21.2.1 :     Ý )
 
 

 
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Observação  21.2.2 :     Ý )
 
    Para  a b ,  é  convencional  escrevermos
 
 
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Observação  21.2.3 :     Ý )
 
    Pela  definição  de  Integral  Definida ,  temos :
 
 
( demonstração )
 
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Observação  21.2.4 :  ( Propriedades )     Ý )
 
    Sejam  f  e  g  funções  integráveis  em  [ a , b ]  e  c  uma  constante .
 
 
( demonstração )
 
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XXI.3.  Área     Ý )
 
 
Observação 21.3.1  ( Área )     Ý )
 
 
 
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Observação 21.3.2 :       Ý )
 
 
 
 
 
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Exemplo :  ( Área entre curvas )       Ý )
 
      Escreva  como  soma  ou  diferença  de  integrais  definidas  a  área  da  região  definida  pelo  gráfico  abaixo .
 
 
Solução :
 
 
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