Cap.XVIII.  Teste da Segunda Derivada para Extremos Relativos.
                   Concavidade e Ponto de Inflexão.  Traçado de Curvas.
 
 
XVIII-1.  Teste da Segunda Derivada Para Extremos Relativos     Ý )
 
 

Teorema 18.1 :  ( Teste da Segunda Derivada para Extremos Relativos )     Ý )
 
    Seja  xo  um  número  crítico  tal  que  f ( xo ) = 0 .  Se  f  é  derivável  em  um  intervalo  aberto  I  contendo  xo  e  existe  f ’’( xo ) ,  temos :
 
(i)  Se  f ’’( xo ) < 0 ,  então  f  tem  um  valor  máximo  relativo  em  xo .
 
 
( observe, em  uma  animação,  que  f é  decrescente )
 
(ii)  Se  f ’’( xo ) > 0 ,  então  f  tem  um  valor  mínimo  relativo  em  xo .
 
 
( observe,  em  uma  animação,  que  f é  crescente )

 
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Exemplo 18.1.1        Ý )
 
 
Solução :
 
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Exemplo 18.1.2        Ý )
 
    Dada  ,  encontre  e  classifique ,  usando  o  teste  da  2a. derivada ,  os  números  críticos .
 
Solução :
 
 
( gráfico )
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Exemplo 18.1.3        Ý )
 
   Seja  ,  encontre  e  classifique ,  usando  o  teste  da  2a. derivada ,  os  números  críticos .
 
Solução :
 
   (cálculos)    
 
 
( gráfico )
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XVIII-2.  Concavidade e Ponto de Inflexão     Ý )
 
 

Definição 18.1.2 :  ( Concavidade )     Ý )
 
( i )  O  gráfico  de  uma  função  f   tem  CONCAVIDADE  VOLTADA  PARA  CIMA  no  ponto  ( xo , f ( xo ) )  se   existir   f ( xo )  e   se   existir   um   intervalo   aberto   I   contendo   xo ,   tal   que   para   todos   os   valores  de   x  ¹  xo   em   I ,   o   ponto   ( x , f ( x ) )   do   gráfico   está   acima   da   reta   tangente   ao   gráfico   em   ( xo , f ( xo ) ) .
 
 
( i i )  O  gráfico  de  uma  função  f   tem  CONCAVIDADE  VOLTADA  PARA  BAIXO  no  ponto  ( xo , f ( xo ) )  se   existir   f ( xo )  e   se   existir   um   intervalo   aberto   I   contendo   xo ,   tal   que   para   todos   os   valores  de   x  ¹  xo   em   I ,   o   ponto   ( x , f ( x ) )   do   gráfico   está   abaixo   da   reta   tangente   ao   gráfico   em   ( xo , f ( xo ) ) .
 

 
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Teorema 18.2 :     Ý )
 
    Seja  f   uma  função  que  admite  derivada  até  2.a  ordem  em  um  intervalo  aberto  I .
 
( i )  Se   f ’’( x )  >  0   em   I ,   então   f   tem   CONCAVIDADE   VOLTADA   PARA   CIMA   em   I .
 
 
 
 
( i i )  Se   f ’’( x )  <  0   em   I ,   então   f   tem   CONCAVIDADE   VOLTADA   PARA   BAIXO   em   I .
 
 
 
 

 
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Definição 18.2.2 :  ( Ponto de Inflexão )     Ý )
 
    O  ponto  ( xo , f ( xo ) )  é  um  ponto  de  inflexão  do  gráfico  da  função  f ,  se  o  gráfico  tiver  nele  uma  reta  tangente  e  se  existir  um  intervalo  aberto  ( a , b ) ,  contendo  xo ,  tal  que  uma  das  seguintes  condições  é  satisfeita :
 
( i )   f ’’( x )  <  0 ,   " x Î ( a , xo )    e     f ’’( x )  >  0 ,   " x Î ( xo , b )
 
Observe,  em  uma  animação,  que  f   é  decrescente  [ f < 0 ,  concavidade  voltada  para  baixo ]  até  o  ponto  de  inflexão .
E ,  após  o  ponto  de  inflexão ,  f   é  crescente  [ f > 0 ,  concavidade  voltada  para  cima ] .
 
( i i )   f ’’( x )  >  0 ,   " x Î ( a , xo )    e     f ’’( x )  <  0 ,   " x Î ( xo , b )
 
Observe,  em  uma  animação,  que  f   é  crescente  [ f > 0 ,  concavidade  voltada  para  cima ]  até  o  ponto  de  inflexão .
E ,  após  o  ponto  de  inflexão ,  f   é  decrescente  [ f < 0 ,  concavidade  voltada  para  baixo ] .

 
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Observação :  ( Não  é  Ponto  de  Inflexão )      Ý )
 
( i )  Se  não  existe  reta  tangente  no  ponto  ( xo , f ( xo ) )  este  ponto  não  é  um  ponto  de  inflexão .
 
 
( i i )  O  ponto  ( xo , f ( xo ) )  não  é  um  ponto  de  inflexão
                       se   f ’’( x )  >  0 ,   " x Î ( a , xo )    e     f ’’( x )  >  0 ,   " x Î ( xo , b )
                       ou    se    f ’’( x )  <  0 ,   " x Î ( a , xo )    e     f ’’( x )  <  0 ,   " x Î ( xo , b ) .
 
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Exemplo 18.2 :      Ý )
 
 
Solução :
 
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XVIII-3.  Traçado de Curvas ( Gráfico de Funções )     Ý )
 
 
PROCEDIMENTO PARA FAZER O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO      Ý )
 
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Exemplo 18.3.1 :      Ý )
 
    Dada  ,  faça  um  esboço  do  gráfico  da  f .
 
Solução :
 
 
(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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Exemplo 18.3.2 :      Ý )
 
    Dada    ,   faça  um  esboço  do  gráfico  da  f .
 
Solução :
 
 
(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
   (cálculos)    
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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Exemplo 18.3.3 :      Ý )
 
 
 
Solução :
 
 
 
(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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(i)  Domínio :
 
 
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(ii)  Assíntotas  Horizontais  e  Verticais :
 
 
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(iii)  Interseções :
 
 
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(iv)  Crescimento ,  Decrescimento  e  Extremos  Relativos :
 
 
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(v)  Concavidade  e  Pontos  de  Inflexão :
 
 
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(vi)  Gráfico :
 
 
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