Cap.XVII.  Crescimento e Decrescimento de Funções.
                       Teste da Primeira Derivada para Extremos Relativos.
 
 
XVII-1. Crescimento e Decrescimento de Funções      )
 
 

Definição 17.1 :  ( Função Crescente )      )
 
    Seja  f  uma  função  definida  em  um  intervalo  I .  A  função  f  é  crescente  em  I  se 
 
f ( x1 ) < f ( x2 )   sempre  que  x1 < x2 ,  " x1 , x2 I .
 

 
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Definição 17.2 :  ( Função Decrescente )      )
 
    Seja  f  uma  função  definida  em  um  intervalo  I .  A  função  f  é  decrescente  em  I  se 
 
f ( x1 ) > f ( x2 )   sempre  que  x1 < x2 ,  " x1 , x2 I .
 

 
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Teorema 17.1 :       )
 
    Seja  f  uma  função  contínua  em  [ a , b ]  e  derivável  em  ( a , b ) .
 
( i )  f ( x ) > 0 ,  " x ( a , b )      f  é  CRESCENTE  em  [ a , b ] .
        f  é  CRESCENTE  em  [ a , b ]      f ( x ) 0 ,  " x ( a , b )
 
 
 
Animação 17-1
( Observe o sinal da derivada )
Animação 17-2
( Observe o sinal da derivada )
 
( i i )  f ( x ) < 0 ,  " x ( a , b )      f  é  DECRESCENTE  em  [ a , b ] .
           f  é  DECRESCENTE  em  [ a , b ]      f ( x ) 0 ,  " x ( a , b )
 
 
 
Animação 17-3
( Observe o sinal da derivada )
Animação 17-4
( Observe o sinal da derivada )

 
( demonstração )
 
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XVII-2.  Teste da Primeira Derivada para Extremos Relativos      )
 
 

Teorema 17.2 :  ( Teste da 1a Derivada para Extremos Relativos )      )
 
    Seja  f  uma  função  contínua  em  um  intervalo  aberto  ( a , b )  contendo  xo .  Se  f  é  derivável  em  todo  os  pontos  do  intervalo  ( a , b ) ,  exceto  possivelmente  em  xo ,  então
 
( i )  f ( x ) > 0 ,  " x ( a , xo )   e   f ( x ) < 0 ,  " x ( xo , b )    
                                                                                                       f  tem  um  valor  MÁXIMO  RELATIVO  em  xo .
 
 
 
 
    Animação 17-5
( Observe o sinal da derivada antes e depois do max. rel. )
   
    Animação 17-6
( Observe o sinal da derivada antes e depois do max. rel. )
   
 
( i i )  f ( x ) < 0 ,  " x ( a , xo )   e   f ( x ) > 0 ,  " x ( xo , b )    
                                                                                                       f  tem  um  valor  MÍNIMO  RELATIVO  em  xo .
 
 
 
 
    Animação 17-7
( Observe o sinal da derivada antes e depois do min. rel. )
   
    Animação 17-8
( Observe o sinal da derivada antes e depois do min. rel. )
   

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Observação 17.1 :  ( Não é Ponto de Extremo Relativo )       )
 
 f ( x ) < 0 ,  " x ( a , xo )   e   f ( x ) < 0 ,  " x ( xo , b )    ou 
 f ( x ) > 0 ,  " x ( a , xo )   e   f ( x ) > 0 ,  " x ( xo , b )      
        em  xo  f  NÃO  tem  um  extemo  relativo . 
 
 
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Exemplo 17.1 :      )
 
    Seja  .     (gráfico)
(a)  Encontre  os  intervalos  onde  f  é  crescente  e  onde  é  decrescente .    (solução)
 
(b)  Encontre  e  classifique  os  extremos  relativos .    (solução)
 
(c)  Encontre  o  valor  máximo  absoluto  da  f  no  intervalo  [ –1 , 2 ) .    (solução)
 
Solução :
 
(a)  Encontre  os  intervalos  onde  f  é  crescente  e  onde  é  decrescente .
 
 
 
(gráfico)
 
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(b)  Encontre  e  classifique  os  extremos  relativos .
 
 
 
(gráfico)
 
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(c)  Encontre  o  valor  máximo  absoluto  da  f  no  intervalo  [ –1 , 2 ) .
 
f   é  uma  função  polinomial ,  portanto  contínua  em  IR .  Em  particular ,  f  contínua  em  [ –1 , 2 ) .
 
f ( 1 ) = 1  é  o  único  extremo  relativo  no  intervalo  [ –1 , 2 )  e  é  um  valor  máximo  relativo  
 
   f ( 1 ) = 1  é  o  valor  máximo  absoluto  da  função  neste  intervalo .
 
(gráfico)
 
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Exemplo 17.2 :      )
 
    Seja   .     (gráfico)
(a)  Encontre  os  intervalos  onde  g  é  crescente  e  onde  é  decrescente .    (solução)
 
(b)  Encontre  e  classifique  os  extremos  relativos .    (solução)
 
(c)  Encontre  o  valor  máximo  absoluto  da  g  no  intervalo  ( 3 , 5 ] .    (solução)
 
Solução :
 
(a)  Encontre  os  intervalos  onde  g  é  crescente  e  onde  é  decrescente .
 
 
 
 
(gráfico)
 
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(b)  Encontre  e  classifique  os  extremos  relativos .
 
 
 
 
(gráfico)
 
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(c)  Encontre  o  valor  máximo  absoluto  da  g  no  intervalo  ( 3 , 5 ] .
 
g   é  definida  por  uma  função  polinomial  no  intervalo  ( 3 , 5 ] ,  portanto  contínua  neste  intervalo .
 
g ( 4 ) = –11  é  o  único  extremo  relativo  no  intervalo  ( 3 , 5 ]  e  é  um  valor  mínimo  relativo  
 
   g ( 4 ) = –11  é  o  valor  mínimo  absoluto  da  função  neste  intervalo .
 
(gráfico)
 
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