Cap.XV.  Extremos Relativos, Números Críticos e Extremos Absolutos
 
 
XV-1.  Extremos Relativos  e  Números Críticos     Ý )
 
 

Definição 15.1 :  ( Extremos Relativos )     Ý )
 
( i ) Máximo Relativo :
 
    A  função  f  tem  um  valor  máximo  relativo  em  xo ,  se  existir  um  intervalo  aberto  I  tal  que  f  está  definida  neste  intervalo ,  xo Î I  e  f ( x ) £  f ( xo ) , " x Î I .
 
 
( i ) Mínimo Relativo :
 
    A  função  f  tem  um  valor  mínimo  relativo  em  xo ,  se  existir  um  intervalo  aberto  I  tal  que  f  está  definida  neste  intervalo ,  xo Î I  e  f ( x ) ³  f ( xo ) , " x Î I .
 

 
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Observação 15.1 :        Ý )
 
    Se  f  está  definida  em  um   intervalo  aberto  I ,  contendo  xo  e  f  tem  um  extremo  relativo  em  xo ,  então
 
f  (  xo )  =  0    ou    NÃO EXISTE  f  (  xo )
 
    A recíproca  NÃO  é  verdadeira ,  por  exemplo :
 
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Definição 15.1.2 :  ( Números Críticos )     Ý )
 
    Seja  xo ΠI Ì Dom f  ,  sendo  I  um  intervalo  aberto  ( isto  é ,  seja  xo  um  número  no  interior  do  Dom f )  .  Dizemos  que  xo  é  um  número  crítico  da  função  f  se 
 
f  (  xo )  =  0    ou    NÃO EXISTE  f  (  xo )

 
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XV-2.  Extremos Absolutos     Ý )
 
 

Definição 15.2 :  ( Extremos Absolutos )     Ý )
 
( i ) Máximo Absoluto :
 
    A  função  f  tem  um  valor  máximo  absoluto  em  um  intervalo  I ,  se  existir xo ΠI  tal  que
f ( x ) £  f ( xo ) ,  " x Î I .
 
 
( i i ) Mínimo Absoluto :
 
    A  função  f  tem  um  valor  mínimo  absoluto  em  um  intervalo  I ,  se  existir xo ΠI  tal  que
f ( x ) ³  f ( xo ) ,  " x Î I .
 

 
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Teorema 15.2.1 ( Teorema de Weierstrass ) :        Ý )
 
    Se  f  é  contínua  no  intervalo  fechado  [ a , b ] ,  então  f  tem  um  valor  máximo  e  um  valor  mínimo  absoluto  em  [ a , b ] .
 
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Exemplo 15.1 :        Ý )
 
    Seja  f  a  função  definida  no  intervalo  fechado  [ a , b ]  pelo  gráfico  abaixo .  Encontre  os  números  críticos ,  os  extremos  relativos  e  os  extremos  absolutos .
 
 
Solução :
 
 
    Observe ,  no  gráfico ,  que  o  valor  mínimo  relativo  f ( x 2 )  é  maior  do  que  o  valor  máximo  relativo  f ( x 6 ) .
    Nos  números  críticos  x 1 ,  x 3  e  x 8  a  função  não  tem  um  extremo  relativo .
 
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Teorema 15.2.2 :        Ý )
 
    Seja  f  uma  função  contínua  em  um  intervalo  I  que  contém  xo .
    Se  f ( xo )  é  o  único  extremo  relativo  de  f  no  interior  de  I ,  então  f ( xo )  é  um  valor  extremo  absoluto  da  f  em  I .  Além  disso ,
 
(i)  Se  f ( xo )  é  um  valor máximo  relativo ,  então  f ( xo )  é  o  valor  máximo  absoluto  da  f  em  I .
 
 
(ii)  Se  f ( xo )  é  um  valor mínimo  relativo ,  então  f ( xo )  é  o  valor  mínimo  absoluto  da  f  em  I .
 
 
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Observação 15.2.1 :   ( Um procedimento para encontrar extremos absolutos )      Ý )
 
 
 
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Exemplo 15.2 :      Ý )
 
    Encontre ,  caso  existam ,  e  classifique  os  extremos  absolutos  nos  intervalos  indicados 
 
 (a)  I = [ 1 , + ¥ )     (solução)
 
 
 (c)  (i)  I = ( - ¥ , - 1 )    (ii)  ( - 4 , - 1 )     (solução)
 
 (b)  (i)  I = ( 1 , + ¥ )  (ii)    I = ( 2 , + ¥ )     (solução)
 
 
Solução :
 
 
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Exemplo 15.3 :      Ý )
 
    Encontre ,  caso  existam ,  os  extremos  absolutos  nos  seguintes  intervalos :
 
(i)  [ –1 , 5 ]
(ii)  ( –1 , 5 )
(iii)  IR
(iv)  [ –1 , 3 )
(v)  ( –1 , 3 ]
(vi)  ( –1 , 3 )
(vii)  [ –1 , 2 ]
(viii)  [ –1 , 2 )
(ix)  ( –1 , 2 ]
(x)  ( –1 , 2 )
 
para  cada  uma  das  funções  dadas  abaixo .
     (solução)
     (solução)
Solução :
 
     ( gráfico )
 
 
(i)  [ –1 , 5 ]   (sol.)
(ii)  ( –1 , 5 )   (sol.)
(iii)  IR   (sol.)
(iv)  [ –1 , 3 )   (sol.)
(v)  ( –1 , 3 ]   (sol.)
(vi)  ( –1 , 3 )   (sol.)
(vii)  [ –1 , 2 ]   (sol.)
(viii)  [ –1 , 2 )   (sol.)
(ix)  ( –1 , 2 ]   (sol.)
(x)  ( –1 , 2 )   (sol.)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
( gráfico )
 
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     ( gráfico )
 
        ( cálculos )
 
(i)  [ –1 , 5 ]   (sol.)
(ii)  ( –1 , 5 )   (sol.)
(iii)  IR   (sol.)
(iv)  [ –1 , 3 )   (sol.)
(v)  ( –1 , 3 ]   (sol.)
(vi)  ( –1 , 3 )   (sol.)
(vii)  [ –1 , 2 ]   (sol.)
(viii)  [ –1 , 2 )   (sol.)
(ix)  ( –1 , 2 ]   (sol.)
(x)  ( –1 , 2 )   (sol.)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
(voltar para o ínicio da solução)
 
 
( gráfico )
 
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