Cap.XIII.  Função Inversa.  Teorema da Função Inversa.
 
 
XIII-1.  Função Inversa     Ý )
 
 
 

Definição 13.1 :  ( Função Inversa )     Ý )
 
    Dizemos que  uma  função  F  é  invertível  se  existe  uma  função  G  tal  que  F o G = id   e   G o F = id ,  sendo  id  a  função  identidade ,  Dom F = Im G  e  Im G = Dom  F .
    Neste caso ,  escrevemos  G = F–1  e  dizemos  que  G  é  a  função  inversa  de  F .
 

 
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Observação 13.1 :  ( Unicidade  e  Gráficos )      Ý )
 
( i )  A  função  inversa ,  quando  existe  é  única .
 
( i i )  Os  gráficos  de  F  e  de  sua  inversa  são  simétricos  em  relação  à  reta  y = x .     (demonstração)
 
 
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Exemplo 13.1 :      Ý )
 
    Seja   F ( x ) = x 3 + 8 .
 
(a)  Encontre  a  função  inversa  da  F .     ( solução )
 
(b)  Esboce ,  na  mesma  figura ,  o  gráfico  da  F ,  de  sua  inversa  F – 1  e  da  reta  y = x .     ( solução )
 
Solução :
 
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Definição 13.2 :  ( Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora )     Ý )
 
    Uma  função  f  é  injetora  se  f ( x1 ) = f ( x2 ) apenas  quando  x1 = x2 ,  isto  é ,  dois  pontos  distintos  do  domínio  possuem  imagens  distintas .
 
    Dizemos  que  f  é  sobrejetora  se  a  imagem  de  f  é  o  contradomínio  de  f .
 
    Uma  função  f  é  bijetora  se  f  é  injetora  e  sobrejetora .
 
    Geometricamente ,  ser  injetora  quer  dizer  que  qualquer  reta  horizontal  intercepta  o  gráfico  da  função  no  máximo  em  um  ponto .
 
 
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Teorema 13.1 :  ( Invertível <=> Bijetora )     Ý )
 
f  é  invertível   Û   f  é  bijetora .
 
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XIII-2.  Teorema da Função Inversa     Ý )
 
 
Observação 13.2 :  ( Derivada  da  Função Inversa )      Ý )
 
 
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Teorema 13.2 :  ( Teorema da Função Inversa )     Ý )
 

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Exemplo 13.2 :      Ý )
 
    Para  cada  uma  das  funções  dadas  abaixo ,  verifique  se  a  função  satisfaz  o  teorema  da  função  inversa .  Em  caso  afirmativo ,  calcule  a  derivada  da  função  inversa  usando  este  teorema  e ,  a  seguir ,  encontre :  a  função  inversa ,  seu  domínio  e  imagem .  Existindo  a  função  inversa ,  represente-a  graficamente  junto  a  função  dada  e  a  reta  y = x ,  observe  a  simetria .
 
   ( solução )   ( gráfico ) 
   ( solução )   ( gráfico ) 
    ( solução )   ( gráfico ) 
 
 
Solução :
 
 
 
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Exemplo 13.3 :      Ý )
 
   
 
Solução :
 
 
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Exemplo 13.4 :      Ý )
 
    
 
  ( solução )
  ( solução )
  ( solução )
  ( solução )
 
Solução :
 
 
 
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