Cap.XII. Diferencial e Aproximação Linear; Função Implícita
              e Diferenciação Implícita; Taxas Relacionadas
 
 

XII-1. Diferencial e Aproximação Linear
    
Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
    Às  vezes ,  precisamos  de  uma  estimativa  rápida  da  variação  de  y = f ( x )  resultante  de  uma  pequena  variação  de  D x  em  x ,
 
 

 
Definição  12.1 :    ( Diferenciais )     Ý )
 
    Seja  f  uma  função  definida  por  y = f ( x ) .
 
(i)  A  diferencial  de  y ,  denotada  por  d y ,  é  dada  por
 
 
onde  x  está  no  domínio  de    e    é  um  incremento  arbitrário  de  x .
 
(ii)  A  diferencial  de  x ,  denotada  por  d x ,  é  dada  por
 
 
onde    é  um  incremento  arbitrário  de  x ,  sendo  x  um  número  qualquer  no  domínio  de   .

 
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Observação  12.1 :  ( Aproximação Linear )     Ý )
 
 
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Exemplo 12.1 ·1 :     Ý )
 
(a)  Encontre  um  valor  aproximado  para    e  .     (solução)
(b)  A  medida  de  um  lado  de  um  quadrado  é  encontrada  como  sendo  15 cm ,  com  uma  possibilidade  de  erro  de  0,01 cm .  Usando  diferencial ,  encontre  o  erro  aproximado ,  usando  esta  medida  no  cálculo  da  área. .     (solução)
 
(c)  A  resistência  elétrica  de  um  fio  é  proporcional  ao  seu  comprimento  e  inversamente  proporcional  ao  quadrado  do  seu  diâmetro .  Suponha  que  a  resistência  de  um  fio ,  de  comprimento  dado ,  é  calculada  a  partir  da  medida  do  diâmetro ,  com  uma  possibilidade  de  erro  de  2 % .  Encontre  a  possível  porcentagem  de  erro  no  cálculo  do  valor  da  resistência .     (solução)
 
Solução :
 
(a)  Encontre  um  valor  aproximado  para    e  .
 
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(b)  A  medida  de  um  lado  de  um  quadrado  é  encontrada  como  sendo  15 cm ,  com  uma  possibilidade  de  erro  de  0,01 cm .  Usando  diferencial ,  encontre  o  erro  aproximado ,  usando  esta  medida  no  cálculo  da  área. .
 
 
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(c)  A  resistência  elétrica  de  um  fio  é  proporcional  ao  seu  comprimento  e  inversamente  proporcional  ao  quadrado  do  seu  diâmetro .  Suponha  que  a  resistência  de  um  fio ,  de  comprimento  dado ,  é  calculada  a  partir  da  medida  do  diâmetro ,  com  uma  possibilidade  de  erro  de  2 % .  Encontre  a  possível  porcentagem  de  erro  no  cálculo  do  valor  da  resistência .
 
 
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XII-2. Função Implícita e Diferenciação Implícita
    
Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
   
 
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Observação 12.2.1:     Ý )
 
   
 
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Observação 12.2.2:  ( Retas ) :     Ý )
 
   
 
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Observação 12.2.3:  ( Circunferência ) :     Ý )
 
   
 
   
 
   
 
   
 
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Observação 12.2.4: :     Ý )
 
 
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Observação 12.2.5:  ( Rosa de Quatro Folhas ) :     Ý )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12.2.1 :     Ý )
 
       ( solução de a )          ( solução de b )          ( solução de c )          ( gráfico )       
 
Solução :
 
 
 
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 Gráfico :
 
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Exemplo 12.2.2 :     Ý )
 
    
 
    ( solução )         ( gráfico )    
 
Solução :
 
 
      
 
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  Gráfico  
 
 
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Exemplo 12.2.3 :     Ý )
 
 
    ( solução de a )    ( solução de b )    ( solução de c )    ( gráfico da curva )     
 
Solução :
 
 
 
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    Observe  os  pontos  encontrados  no  gráfico  da  curva  C .
 
 
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XII-3. Taxas Relacionadas
    
Ý )
 
 
Exemplo 12.3 :     Ý )
 
(A)  Uma  escada  de  13 m  está  apoiada  em  uma  parede  vertical .  A  base  da  escada  está sendo  empurrada  no  sentido  contrário  ao  da  parede , a  uma  taxa  constante  de  6 m/min .  Qual  a  velocidade  com  a  qual  o  topo  da  escada  se  move  para  baixo ,  encostada  à  parede ,  quando  a  base  da  escada  está  a  5 m  da  parede ?      ( solução )       Ý )
 
(B)  Um  tanque  em  forma  de  um  cone  com  o  vértice  para  baixo  mede  12 m  de  altura  e  tem  no  topo  um  diâmetro  de  12 m .  Bombeia-se  água  à  taxa  de  4 m3/mim  para  o  tanque .  Ache  a  taxa  com  que  o  nível  da  água  sobe :       (a)  Quando  a  água  tem  2 m  de  profundidade .  (b)  Quando  a  água  tem  8 m  de  profundidade .      ( solução )       Ý )
 
(C)  Um  caminhão  e  um  carro  estão  em  estradas  diferentes  que  são  perpendiculares  e  ambas  são  retas .  O  caminhão  está  se  aproximando  do  cruzamento  com  velocidade  de  60 Km/h  e  o  carro  está  se  afastando  do  cruzamento  com  uma  velocidade  de  100 Km/h .  No  instante  em  que  o  carro  e  o  caminhão  estão  respectivamente  a  5 Km  e  12 km  do  cruzamento ,  eles  estão  se  aproximando  ou  se  afastando ?  A  que  taxa ?      ( solução )       Ý )
 
(D)  Um homem  com  2 m  de  altura  está  correndo  à  velocidade  de  3 m/s  e  passa  embaixo  de  uma  lâmpada  num  poste  a  6 m  acima  do  solo.  Encontre :  (a)  A  velocidade  com  que  o  topo  de  sua  sombra  se  move .  (b)  A  taxa  de  variação  do  comprimento  de  sua  sombra .      ( solução )       Ý )
 
(E)  Uma  antena  de  radar  está localizada  em  um  navio  a  4 Km  de  uma  praia  reta  e  sua  rotação  é  de  3 rad/min .  Qual  é  a  velocidade  da  frente  de  onda  do  radar  que  se  move  ao  longo  da  linha  da  praia,  quando  a  frente  de  onda  faz  um  ângulo  de  45o  com  a  praia ?      ( solução )       Ý )
 
(F)  Um  quadro  de  40 cm  de  altura  está  colocado  numa  parede  vertical  com  sua  base  a  30 cm  acima  do  nível  dos  olhos  de  um  observador .  Se  o  observador  se  aproximar  da  parede  à  razão  de  4 cm/s ,  com  que  velocidade  varia  a  medida  do  ângulo  subtendido  pelo  quadro  a  seus  olhos ,  quando  o  observador  estiver  a  10 cm  da  parede ?
( Resolva  após  estudar ,  no  cap. XIV ,  as  derivadas  das  funções  trigonométricas  inversas ) .      
( solução )       Ý )
 
(G)  Um  homem  num  cais  está  puxando  um  barco  à  razão  de  2 cm/s  por  meio  de  uma  corda .  As  mãos  do  homem  estão  a  40 cm  acima  do  nível  do  ponto  onde  a  corda  está  presa  no  bote .  Com  que  velocidade  varia  a  medida  do  ângulo  de  deflexão  da  corda  quando  existe  50 cm  de  corda  solta  ?       ( solução )       Ý )
 
(H)  Um  balão  é  solto  ao  nível  do  olho  de  um  observador  que  está  a  50 m  de  distância . O  balão  sobe  verticalmente  a  taxa  de  5 m/s .  Com  que  rapidez  o  ângulo  de  elevação  está  crescendo  6  segundos  após  o  momento  da  soltura .       ( solução )       Ý )
 
(I)  Uma  partícula  se  desloca  no  plano  descrevendo  como  trajetória  a  curva  y + x 2 y = 1 .  Seja   o  ângulo  entre  o  eixo  x  positivo  e  o  segmento  de  reta  que  une  ( x , y )  à  origem .  Calcule  a  taxa  de  variação  de   no  instante  em  que  x = 1 ,  sabendo  que  x  aumenta  a  uma  taxa  de  2  unidades  por  segundo .      ( solução )       Ý )
 
(J)  Um  ponto  move-se  sobre  a  hipérbole  x y = 4  de  tal  modo  que  a  velocidade  de  é   ,      constante .  Mostre  que  a  aceleração  da  abcissa  x  é    .      ( solução )       Ý )
 
Solução :
 
(A)  Uma  escada  de  13 m  está  apoiada  em  uma  parede  vertical .  A  base  da  escada  está sendo  empurrada  no  sentido  contrário  ao  da  parede , a  uma  taxa  constante  de  6 m/min .  Qual  a  velocidade  com  a  qual  o  topo  da  escada  se  move  para  baixo ,  encostada  à  parede ,  quando  a  base  da  escada  está  a  5 m  da  parede ?
 
 
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(B)  Um  tanque  em  forma  de  um  cone  com  o  vértice  para  baixo  mede  12 m  de  altura  e  tem  no  topo  um  diâmetro  de  12 m .  Bombeia-se  água  à  taxa  de  4 m3/mim  para  o  tanque .  Ache  a  taxa  com  que  o  nível  da  água  sobe :       (a)  Quando  a  água  tem  2 m  de  profundidade .  (b)  Quando  a  água  tem  8 m  de  profundidade .
 
 
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(C)  Um  caminhão  e  um  carro  estão  em  estradas  diferentes  que  são  perpendiculares  e  ambas  são  retas .  O  caminhão  está  se  aproximando  do  cruzamento  com  velocidade  de  60 Km/h  e  o  carro  está  se  afastando  do  cruzamento  com  uma  velocidade  de  100 Km/h .  No  instante  em  que  o  carro  e  o  caminhão  estão  respectivamente  a  5 Km  e  12 km  do  cruzamento ,  eles  estão  se  aproximando  ou  se  afastando ?  A  que  taxa ?
 
 
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(D)  Um homem  com  2 m  de  altura  está  correndo  à  velocidade  de  3 m/s  e  passa  embaixo  de  uma  lâmpada  num  poste  a  6 m  acima  do  solo.  Encontre :  (a)  A  velocidade  com  que  o  topo  de  sua  sombra  se  move .  (b)  A  taxa  de  variação  do  comprimento  de  sua  sombra .
 
(a)
 
(b)
 
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(E)  Uma  antena  de  radar  está localizada  em  um  navio  a  4 Km  de  uma  praia  reta  e  sua  rotação  é  de  3 rad/min .  Qual  é  a  velocidade  da  frente  de  onda  do  radar  que  se  move  ao  longo  da  linha  da  praia,  quando  a  frente  de  onda  faz  um  ângulo  de  45o  com  a  praia ?
 
 
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(F)  Um  quadro  de  40 cm  de  altura  está  colocado  numa  parede  vertical  com  sua  base  a  30 cm  acima  do  nível  dos  olhos  de  um  observador .  Se  o  observador  se  aproximar  da  parede  à  razão  de  4 cm/s ,  com  que  velocidade  varia  a  medida  do  ângulo  subtendido  pelo  quadro  a  seus  olhos ,  quando  o  observador  estiver  a  10 cm  da  parede ?
 
 
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(G)  Um  homem  num  cais  está  puxando  um  barco  à  razão  de  2 cm/s  por  meio  de  uma  corda .  As  mãos  do  homem  estão  a  40 cm  acima  do  nível  do  ponto  onde  a  corda  está  presa  no  bote .  Com  que  velocidade  varia  a  medida  do  ângulo  de  deflexão  da  corda  quando  existe  50 cm  de  corda  solta  ?
 
 
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(H)  Um  balão  é  solto  ao  nível  do  olho  de  um  observador  que  está  a  50 m  de  distância . O  balão  sobe  verticalmente  a  taxa  de  5 m/s .  Com  que  rapidez  o  ângulo  de  elevação  está  crescendo  6  segundos  após  o  momento  da  soltura .
 
 
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(I)  Uma  partícula  se  desloca  no  plano  descrevendo  como  trajetória  a  curva  y + x 2 y = 1 .  Seja   o  ângulo  entre  o  eixo  x  positivo  e  o  segmento  de  reta  que  une  ( x , y )  à  origem .  Calcule  a  taxa  de  variação  de   no  instante  em  que  x = 1 ,  sabendo  que  x  aumenta  a  uma  taxa  de  2  unidades  por  segundo .
 
 
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(J)  Um  ponto  move-se  sobre  a  hipérbole  x y = 4  de  tal  modo  que  a  velocidade  de  é   ,      constante .  Mostre  que  a  aceleração  da  abcissa  x  é    .
 
 
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