Cap.X. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade ,
           Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia
 
 

X-1. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade
    
Ý )
 
 
Teorema  10.1 :  ( Derivabilidade  e  Continuidade )     Ý )
 
    Se  a  função  f  é  derivável  em  a ,  então  f  é  contínua  em  a .      (demonstração)
 
Observação  10.1 :     Ý )
 
    Como  conseqüência  do  teorema  anterior ,  temos  que :
 
f  NÃO  é  contínua  em a  Þ  f  NÃO  é  derivável  em  a .
 
Observação  10.2 :     Ý )
 
    A  recíproca  do  teorema  10.1  NÃO  é  verdadeira ,  isto é ,  uma  função  pode  ser  contínua  em  a  e  não  ser  derivável  em  a .
 
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Observação  10.3 :  (Diferenciabilidade e Continuidade)     Ý )
 
  ·  Dizemos  que  a  função  f = f ( x )  é  diferenciável  em  a  se  f  é  derivável  em  a .
 
( Isto não ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
  ·  Dizemos  que  a  função  f = f ( x )  é  diferenciável  se  f  é  derivável  em  todo  a Î Dom f .
 
( Isto não ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
  ·  Se  a  função  f  é  diferenciável  em  aentão  f  é  contínua  em  a .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
  ·  Se  a  função  f  NÃO  é  contínua  em  a ,  então  f  NÃO  é  diferenciável  em  a .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
  ·  Se  f  NÃO  é  uma  função  contínua  ,  então  f  NÃO  é  uma  função  diferenciável .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
  ·  Apenas  sabendo  que  f  é  contínua  em  a ,  nada  podemos  afirmar  sobre  a diferenciabilidade  da  f  em  a .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
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Exemplo 10 ·1 :     Ý )
 
    Estude  a  continuidade  e  a  diferenciabilidade  das  seguintes  funções :
 
  (solução)   (gráfico)
  (solução)   (gráfico)
  (solução)   (gráfico)
 
 
Solução :
 
    (gráfico)
 
 
 
(veja o gráfico desta função)
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    (gráfico)
 
 
 
(veja o gráfico desta função)
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    (gráfico)
 
 
 
(veja o gráfico desta função)
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X-2. Regras Básicas de Derivação
    
Ý )
 
 
    Você  já  deve  ter  percebido  que  é  " muito  trabalhoso "  calcular  derivada  pela  definição .  Para  facilitar  o  cálculo  da  derivada  vamos  aprender  algumas  regras  de  derivação .
 
Regras Básicas de Derivação :     Ý )
 
( i )  Se  u  e  v  são  funções  deriváveis  em  x ,  então  u ± v  também  é  derivável  em  x  e
 
 
( ii )  Se  u  é  uma  função  derivável  em  x  e  c  é  uma  função  constante ,  então  c u  também  é  derivável  em  x  e
 
 
( iii )  Se  u  e  v  são  funções  deriváveis  em  x ,  então  u v  também  é  derivável  em  x  e
 
 
( iv )  Se  u  e  v  são  deriváveis  em  x  e  v ( x ) ¹ 0 ,  então    também  é  derivável  em  x  e
 
 
( v )  Se  f ( x ) = c ,  então  f ´ ( x ) = 0
 
( vi )  Se  f ( x ) = x ,  então  f ´ ( x ) = 1
 
( vii ) Se  f ( x ) = x n   e   n  é  um  número  racional ,  então  f ´ ( x ) = n x n  1 .
 
(demonstração)
 
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Observação 10.4:  ( Derivada  da  função  valor  absoluto )     Ý )
 
    H ( x ) = | x | ,  então  ,  para  todo  x ¹ 0  e  H  não  é  derivável  em  0 .
 
(demonstração)
 
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Exemplo 10 ·2 :     Ý )
 
    Calcule  a  derivada  e  simplifique  o  resultado  para  cada  uma  das  seguintes  funções  dadas  abaixo :
 
  (solução)
  (solução)
  (solução)
  (solução)
  (solução)
  (solução)
 
Solução :
 
 
 
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Exemplo 10 ·3 :     Ý )
 
        (solução)
 
       (solução)
       (solução)
       (solução)
 
Solução :
 
 
 
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X-3. Regra  da  Cadeia
    
Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
    Se  quisermos  derivar  funções  do  tipo  ( a x + b ) n  com  conhecimento  somente  das  Regras  Básicas  de  Derivação  teremos  que  primeiro  expandir  esta  função  polinomial .  Isto  pode  ser  muito  trabalhoso .
 
    Por  exemplo ,  vamos  derivar   H (  x  ) = ( 2 x + 1 ) 9 .
 
    Reescrevendo  H  para  usarmos  as  Regras  Básicas  de  Derivação :       ( cálculos )
 
 
    Derivando :
 
 
    Se  quisermos  estudar  o  sinal  desta  derivada ,  teremos  que  fatorá-la .  Isto  certamente  nos  tomará  muito  tempo .
 
     ( cálculos )
    Uma  regra  que  nos  permita  obter  a  derivada  de  H  diretamente  e  na  forma  acima  ( já  fatorada )  é  muito  útil .
 
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A  Regra  da Cadeia :     Ý )
 
    Se  u  é  derivável  em  a ,  f  derivável  em  u ( a ) ,  então  a  função  composta  f o u  é  derivável  em  a  e 
 
       (demonstração)
 
Exemplo 10 ·4 :     Ý )
 
    Usando  a  Regra  da  Cadeia ,  derive  a  função  H (  x  ) = ( 2 x + 1 ) 9  .
 
( a  mesma  função  que  na  introdução  encontramos  a  derivada  apenas  com  as  Regras  Básicas  de  Derivação )
 
Solução :
 
 
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Observação 10.5:  ( Derivada  de  uma  função  elevado  à  um  expoente )     Ý )
 
    Se  u  é  uma  função  diferenciável ,  então :
 
    (demonstração)
 
Observação 10.6:  ( Derivada  da  função  valor  absoluto  de  uma  função )     Ý )
 
    Se  u  é  uma  função  diferenciável ,  então :
 
    (demonstração)
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Exemplo 10 ·5 :     Ý )
 
    Calcule  e  simplifique  a  derivada  de  cada  uma  das  funções  dadas  abaixo :
 
  (solução)
  (solução)
  (solução)
  (solução)
  (solução)
  (solução)
 
Solução :
 
 
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Exemplo 10 · 6 :     Ý )
 
      
       (solução)
       (solução)
 
Solução :
 
 
 
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