Cap.IX. Reta Tangente e Definição de Derivada
 
 

IX-1. Reta Tangente e Reta Normal
    
Ý )
 
 
Observação  9.1 :  ( Reta  Secante )     Ý )
 
 
(i)  Seja  f  uma  função  contínua  em  um  intervalo  aberto  I .  Para  cada  x1 ,  x2  Î I ,  tal  que  x1 ¹ x2 ,  temos :
 
      ·  Coeficiente  Angular  da  Reta  Secante  ao  gráfico  de  f  nos  pontos  ( x1 , f ( x1 ) )  e  ( x2 , f ( x2 ) )  é
 
 
      ·  Equação da  Reta  Secante  ao  gráfico  de  f  nos  pontos  ( x1 , f ( x1 ) )  e  ( x2 , f ( x2 ) )  é
 
 
(ii)  Seja  f  uma  função  contínua  em  um  intervalo  aberto  I .  Para  cada  a ,  a+ h  Π I ,  tal  que  h ¹ 0 ,  temos :
 
       ·  Coeficiente  Angular  da  Reta  Secante  ao  gráfico  de  f  nos  pontos  ( a , f ( a ) )  e  ( a + h , f ( a + h ) ) :
 
 
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Observação  9.2 :  ( Reta  Tangente )     Ý )
 
    Nas  figuras  abaixo  vemos  o  gráfico  de  uma  função  f  em  uma  vizinhança  de  um  ponto  P ,  de  uma  para  outra  figura  aumentamos  o  "zoom"  para  melhor  observar  o  gráfico  próximo  do  ponto  P .
 
   
 
    Observe  que  bem  próximo  do  ponto  P  o  gráfico  se  parece  com  a  parte  de  uma  certa  linha  reta ;  e  esta  linha  é  o  que  chamamos  reta  tangente .
 
    Para  observar  melhor  que  o  gráfico  de  uma  função  em  uma  vizinhança  de  um  ponto  se  parece  com  a  sua  reta  tangente  nesse  ponto , vamos  ver  uma  animação  em  que  aumentamos  sucessivamente  o  "zoom"  no  gráfico  de  uma  função  e  sua  reta  tangente  numa  vizinhança  do  ponto  de  tangência .
 
 
    Reta  tangente  ao  gráfico  de  f  no  ponto  ( a , f( a ) ) :
 
 
 
( i )  Se  a  reta  tangente  não  é  vertical  então  tem  uma  equação  da  forma 
 
y  –  f ( a )  =  m  ( x  –  a )  ,
 
        onde  m  é o  coeficiente  angular  da  reta .  Devemos  determinar  o  número  m .
 
         Para  isto ,  tomemos  retas  secantes  ao  gráfico  de  f  no  ponto  ( a , f ( a ) )  e  em  um  ponto  ( a + h , f ( a + h ) ) .
 
 
 
 
 
( i i )  Se  a  reta  tangente  é  vertical  então  sua  equação  é   x  =  a .
 
 
 
 
 
 

 
Definição  9.1 :   ( Reta  Tangente )     Ý )
 
    Seja  f  uma  função  contínua  em  a .
 
    A  Reta  Tangente  ao  gráfico  da  função  f  no  ponto  ( a , f ( a ) )  é :
 
( i )  a  reta   y  –  f ( a )  =  m  ( xa )   onde
 
 
se  este  limite  existir  ( isto  é ,  for  finito ) .
 
( i i )  a  reta  vertical   x  =  a    se
 
 

 
Observação  9.3 :   ( Cúspide )     Ý )
 
    Se  f  é  uma  função  contínua  em  a ,  então
 
 
nós  somente  dizemos  que  f  tem  uma  cúspide  em  a .
 
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Definição  9.2 :   ( Reta  Normal )     Ý )
 
    A  Reta  Normal  a  um  gráfico  em  um  dado  ponto  é  a  reta  perpendicular  à  reta  tangente  naquele  ponto .
 

 
Observação  9·4 :     Ý )
 
( i )  A   reta  tangente  ao  gráfico  de  f  em  um  ponto  ( a , f ( a ) )  pode  interceptá-lo .  Veja  a  figura  abaixo .
 
 
( i i )  Se  o  gráfico  forma  um  " bico "  no  ponto  ( a , f ( a ) )  então não  existe  reta  tangente  neste  ponto .  Veja  nas  figuras  abaixo .
 
 
( i i i )  A  reta  tangente  ao  gráfico  de  uma  reta  em  qualquer  ponto  da  reta  é  a  própria  reta .
 
  
 
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Exemplo 9·1 :     Ý )
 
    Encontre ,  caso  existam ,  a  equação  da  reta  tangente  e  a  equação  da  reta  normal  ao  gráfico  das  funções  dadas  abaixo ,  nos  pontos  indicados .
 
     (solução)     (gráfico)
 
     (solução)     (gráfico)
 
     (solução)     (gráfico)
     (solução)     (gráfico)
 
Solução :
 
     (gráfico)
 
 
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     (gráfico)
 
 
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     (gráfico)
 
 
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     (gráfico)
 
 
 
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Exemplo 9·2 :     Ý )
 
    Encontre ,  caso  existam ,  os  pontos  onde  a  reta  tangente  é  vertical ,  os  pontos  onde  a  reta  tangente  é  horizontal  e  os  pontos  somente  de  cúspide .
 
  (solução)   (gráfico)
  (solução)   (gráfico)
  (solução)   (gráfico)
 
Solução :
 
     (gráfico)
 
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     (gráfico)
 
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     (gráfico)
 
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Exemplo 9·3 :     Ý )
 
    Determine  se  ( 1 , f ( 1 ) )  é  um  ponto  onde  a  reta  tangente  é  vertical  ou  se  é  um  ponto  de  cúspide .
 
  (solução)  (gráfico)   
  (solução)  (gráfico)
 
Solução :
 
     (gráfico)
 
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     (gráfico)
 
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IX-2. Derivada e Derivadas Laterais
    
Ý )
 
 

 
Definição  9.3 :   ( Derivada  num  Ponto )     Ý )
 
    A  derivada  de  f  em  a Î dom f
,  que  denotamos  por  f ’( a ) ,  é :
 
 
se  este  limite  existir  ( isto  é  for  finito ) .
 

 
Observação 9.5  ( Derivada ,  Reta  Tangente  e  Reta  Normal )     Ý )
 
( i )  f ’( a )  é  o  coeficiente  angular  da  reta  tangente  ao  gráfico  da  função  f  no  ponto  ( a , f ( a ) ) .
 
( i i )  Se  existe  f ’( a ) ,  temos :
 
 
( i i i )  Temos  que  f ’( a )  também  pode  ser  determinada  por :
 
 
se  este  limite  existir  ( isto  é ,  for  finito ) .
 
    Podemos  verificar  fazendo  a  mudança  de  variável  x = a + h  e  observando  que  x ® a  Û  h ® 0 .
 
 
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Observação 9.6  ( Taxa  de  Variação  Média  e  Instantânea )     Ý )
 
( i )  Velocidade  Média  e  Instantânea :
 
    Imagine  um  carro  se  movendo  numa  estrada  reta ,  sendo  S ( t )  sua  distância  após  t  horas  do  ponto  de  partida .  Suponha  que  você  deseje  determinar  a  velocidade  do  carro  num  certo  instante  t 0 ,  mas  não  possui  acesso  ao  velocímetro  do  carro .   Para  isto ,  você  precisa  conhecer  a  posição  do  carro  no  instante  t 0 ,  S ( t 0 ) ,  e  em  um  outro  instante  t ,  S ( t ) ,  determinando  assim  o  espaço  percorrido  entre  os  instantes  t 0  e  t .
 
    A  velocidade  média  do  carro  entre  os  instantes  t 0  e  t :
 
 
    Como  a  velocidade  do  carro  varia  durante  o  intervalo  de  tempo  t 0  e  t ,  a  velocidade  média  não  é  igual  a  velocidade  no  instante  t 0  ( velocidade  instantânea  em  t 0 ) .  Entretanto ,  quando  o  intervalo  entre  os  instantes  t 0  e  t  é  pequeno ,  pequena  é  a  possibilidade  de  variações  drásticas  de  velocidade .  Então ,  a  velocidade  instântanea  será  aproximadamente  a  velocidade  média .
 
    Logo ,  velocidade instantânea @ velocidade média  se  D t @ 0 .
    A  velocidade  do  carro  no  instante  t 0 ,  que  denotamos  por  v ( t 0 )  é
 
 
    
 
( i i )  Aceleração  Média  e  Instantânea :
 
    Lembremos ,  que  a  aceleração  é  uma  taxa  de  variação  da  velocidade ,  usando  o  mesmo  raciocínio  anterior  podemos  concluir :
 
 
    
 
 
( i i i )  Taxa de Variação Média  e  Instantânea :
 
    Seja   y = f ( x )  uma  função  derivável  em   x 0 .
 
    
 
    Assim  sendo ,  a  derivada  pode  representar  conceitos  como  taxa  de  crescimento  populacional ,  custo  marginal  do  produtor ,  velocidade  de  um  objeto  móvel ,  taxa  de  inflação ,  taxa  com  a  qual  os  recursos  naturais  estão  se  esgotando ,  etc .
 
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Definição  9.4 :   ( Função  Derivada )     Ý )
 
    A  função  derivada  de  f ,  que  denotamos  por  f ’ ,  é  dada  em  cada  x Î dom f   por :
 
 
se  este  limite  existir  ( isto  é  for  finito ) .
 

 
Observação 9.7     Ý )
 
( i )  Dizemos  que  f  é  derivável  em  a ,  se  existe  a  derivada  de  f  em  a .
 
( i i )  Dizemos  que  a  função  f  é  derivável ,  se  f  é  derivável  em  todo  ponto  do  seu  domínio .
 
( i i i )  Podemos  representar  a  derivada  de  f  em  a  por :  f ’ ( a )  ou    ou  D f ( a ) .
( i v )  Podemos  representar  a  função  derivada  de  f  por :  f ’  ou  ou  D f .
 
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Definição  9.5 :   ( Derivadas  Laterais )     Ý )
 
( i )  Derivada  à  esquerda :
 
    A  derivada  à  esquerda  de  f  em  a Î dom f ,  que  denotamos  por  ,  é :
 
se  este  limite  existir  ( isto  é  for  finito ) .
 
( i i )  Derivada  à  direita :
 
    A  derivada  à  direita   de  f  em  a Î dom f ,  que  denotamos  por  ,  é :
 
se  este  limite  existir  ( isto  é  for  finito ) .
 

 
Observação 9.8 :     Ý )
 
 
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Exemplo 9·4 :     Ý )
 
    Dada  ,  encontre  a  função  derivada  da  f  e  a  equação  da  reta  tangente  no  ponto  ( 1, f ( 1 ) ) .     (gráfico)
Solução :
 
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Exemplo 9·5 :     Ý )
 
    
  (solução)  (gráfico)   
  (solução)  (gráfico)
  (solução)  (gráfico)   
  (solução)  (gráfico)
 
Solução :
 
   (gráfico)
 
 
 
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   (gráfico)
 
    
 
 
    
 
 
    
 
 
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   (gráfico)   
 
    
 
 
    
 
 
    
 
 
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   (gráfico)
 
    
 
 
    
 
 
    
 
 
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