Cap.VII.  Limites  no  Infinito ,  Limites  Infinitos
                Assíntotas  Horizontais  e  Verticais
 
 
VII-1.  Limites no Infinito     Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
    Vamos  estudar  o  comportamento  de  uma  função  para  | x |  " muito grande " :
 
 
    Vamos  observar  o  gráfico  da  f  no  intervalo  [ 1 , 100 ] :
 
      
    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  mais  próximo  de  0  quando  x ® + ¥ ,  isto é ,
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    Agora ,  vamos  observar  o  gráfico  da  f  no  intervalo  [ –100 , –1 ] :
 
      
    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  mais  próximo  de  0  quando  x ® - ¥ ,  isto é ,
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Definição  7.1 :  ( Limites  no  Infinito )  :    Ý )
 
( I )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  número  de  um  intervalo  aberto  I  =  ( c , + ¥ ) .
 
         A  função  f  tem  limite  L  quando  x   tende  para  + ¥ ,  que  denotamos  por 
 
 ,
 
         se  para  todo  número  positivo  e  podemos  encontrar  um  número  positivo  N ,  tal  que
 
f ( x ) Î ( L – e , L + e )   sempre  que   x > N .
         Isto  é ,
 
( II )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  ponto  de  um  intervalo  aberto  I  =  ( - ¥ , c ) .
 
          A  função  f  tem  limite  L  quando  x   tende  para  - ¥ ,  que  denotamos  por 
 
 ,
 
         se  para  todo  número  positivo  e  podemos  encontrar  um  número  positivo  N ,  tal  que
 
f ( x ) Î ( L – e , L + e )   sempre  que   x < – N .
         Isto  é ,
 

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Observação 7-1 :     Ý )
 
( i )  As  propriedades  de  limite  continuam  válidas  quando  x® + ¥  e  quando  x ® - ¥ ;  e  temos  para  todo  n Î IN*
 
( ii )  Para  todo  n Î IN*  e   c Î IR ,   temos
 
 
(demonstração)
 
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Exemplo 7.1 :     Ý )
 
    Para  cada  uma  das  funções  definidas  abaixo ,  calcule  o  limite  da  função  quando  x ® - ¥  e  quando  x  ® + ¥ .
 
(a)      (sol.)     
 
(b)       (sol.)     
 
(c)       (sol.)
 
(d)      (sol.)     
 
(e)       (sol.)     
 
(f)       (sol.)
 
 
Solução :
 
(a)  
 
 
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(b)  
 
 
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(c)  
 
 
 
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(d)  
 
 
 
 
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(e)  
 
 
 
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(f)  
 
 
 
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VII-2.  Limites Infinitos     Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
    Vamos  estudar  o  comportamento  de  funções  tais  que  | f ( x ) |  é  " muito  grande "  quando  x  está  próximo  de  0 .
 
 
    Vamos  observar  o  gráfico  da  f  numa  vizinhança  de  0 :
 
      
    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  maior  quando  quando  x ® 0 ,  isto é ,
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    Vamos  observar  o  gráfico  da  f  numa  vizinhança  de  0 :
 
      
    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  menor  quando  quando  x ® 0 ,  isto é ,
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Definição  7.2 :  ( Limites  Infinitos )  :    Ý )
 
( I )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  número  de  um  intervalo  aberto  contendo  a ,  exceto
 
         possivelmente  em  a .
 
         A  função  f  tem  " limite + ¥  quando  x   tende  para  a ,  que  denotamos  por 
 
 ,
 
         se  para  todo  número  positivo  N   podemos  encontrar  um  número  positivo  d  tal  que
 
f ( x ) > N   sempre  que   x Î ( a d , a ) È ( a , a + d ) .
         Isto  é ,
 
( II )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  número  de  um  intervalo  aberto  contendo  a ,  exceto
 
          possivelmente  em  a .
 
          A  função  f  tem  " limite - ¥  quando  x   tende  para  a ,  que  denotamos  por 
 
 ,
 
         se  para  todo  número  positivo N   podemos  encontrar  um  número  positivo  d  tal  que
 
f ( x ) < – N   sempre  que   x Î ( a d , a )< È ( a , a + d ) .
         Isto  é ,
 

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Observação 7-2 :     Ý )
 
( i )  Note  que ,  pela  definição  acima ,    é  equivalente  à 
 
( ii )  As  definições  de  limite  laterais  infinitos  são  análogas .
 
( iii )  Apesar  de  escrevermos    ou  ,  estes  limites  NÃO  existem .
 
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Observação 7-3 :     Ý )
 
 
(demonstração)
 
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Exemplo 7.2 :     Ý )
 
    Para  cada  uma  das  funções  e  valores  de  a  definidos  abaixo ,  calcule  o  limite  da  função  quando  x ® a   e  quando  x ® a + .
 
(a)      (sol.)            (i)  a = – 1    (sol.)            (ii)  a = 1    (sol.)            (iii)  a = 2    (sol.)
 
(b)      (sol.)                     (i)  a = – 1    (sol.)            (ii)  a = 1    (sol.)
 
(c)      (sol.)                   (i)  a = – 2    (sol.)            (ii)  a = 2    (sol.)           
 
Solução :
 
Vamos  resolver  estes  limites  usando  a  Observação 7.3 .  Quando  o  denominador  for  um  polinômio ,  devemos  fatorar  o  polinômio ,  para  saber  se  está  se  aproximando  de  0  por  valores  maiores  ou  menores  que  0 ,  quando  x  se  aproxima  de  a .
 
(a)               (i)  a = – 1    (sol.)            (ii)  a = 1    (sol.)            (iii)  a = 2    (sol.)
 
 
(i)  a = – 1
 
 
 
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(ii)  a = 1
 
 
 
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voltar para o enunciado deste exemplo
 
(iii)  a = 2
 
 
 
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(b)               (i)  a = – 1    (sol.)            (ii)  a = 1    (sol.)           
 
 
(i)  a = – 1
 
 
 
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voltar para o enunciado deste exemplo
 
(ii)  a = 1
 
 
 
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(c)               (i)  a = – 2    (sol.)            (ii)  a = 2    (sol.)           
 
 
(i)  a = – 2
 
 
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voltar para o enunciado deste exemplo
 
(ii)  a = 2
 
 
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Observação 7-4 :     Ý )
 
 
 
 
 
(demonstração)
 
 
    Em  muitos  casos  não  é  possível  determinar  de  imediato  o  limite ,  quando  isto  acontece  nós  dizemos  que  temos  uma  indeterminação  ( isto  é ,  precisamos  fazer  alguns  cálculos  para  determinar  o  limite ) .
 
“ veja alguns tipos de indeterminações ”
 
Exemplo 7.3 :     Ý )
 
    Calcule  os  seguintes  limites :
 
(a)      (solução)              (b)      (solução)
(c)      (solução)              (d)      (solução)
 
Solução :
 
(a)  
 
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(b)  
 
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voltar para o início
 
(c)  
 
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voltar para o início
 
(d)  
 
 
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VII-3.  Assíntotas Horizontais e Verticais     Ý )
 
 
Assíntotas     Ý )
 
 
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Definição  7.3 :  ( Assíntota  Horizontal )  :     Ý )
 
    A   reta   y = b   é   uma   assíntota   horizontal   ao   gráfico   da   função   f   se
 
 
 
 

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Definição  7.4 :  ( Assíntota  Vertical )  :     Ý )
 
    A   reta   x = a   é   uma   assíntota   vertical   ao   gráfico   da   função   f   se   pelo   menos   uma   das   afimações   abaixo   for   verdadeira :
 
 
 

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Exemplo 7.4 :     Ý )
 
    Encontre  as  assíntotas  horizontais  e  verticais  ao  gráfico  de  cada  uma  das  seguintes  funções  :
 
(a)      (solução) (b)      (solução) (c)      (solução)
(d)      (solução) (e)      (solução) (f)      (solução)
 
Solução :
 
(a)  
 
 
 
 
Assíntotas  Horizontais :   y = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
Assíntotas  Verticais :   x = 0 ,   x = – 1   e   x = 2
 
( veja o gráfico dessa função )
 
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(b)  
 
 
 
 
Assíntotas  Horizontais :   y = 1
 
 
 
Assíntotas  Verticais :   x = – 3
 
( veja o gráfico dessa função )
 
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(c)  
 
 
 
 
 
Assíntotas  Horizontais :   não  existe
 
 
 
 
 
Assíntotas  Verticais :   x = 3
 
( veja o gráfico dessa função )
 
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(d)  
 
 
 
 
 
Assíntotas  Horizontais :   y = – 3   e   y = 3
 
 
 
 
Assíntotas  Verticais :   x = – 2   e   x = 2
 
( veja o gráfico dessa função )
 
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(e)  
 
 
 
 
Assíntotas  Horizontais :   não  existe
 
 
 
Assíntotas  Verticais :   x = 1
 
( veja o gráfico dessa função )
 
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(f)  
 
 
 
 
Assíntotas  Horizontais :   y = 3   e   y = – 3
 
 
 
Assíntotas  Verticais :   não  existe
 
( veja o gráfico dessa função )
 
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