Cap.VII. Limites no Infinito , Limites Infinitos
Assíntotas Horizontais e Verticais
Vamos estudar o comportamento de
uma função para | x | " muito grande " :
Vamos observar o gráfico da f no intervalo [ 1 , 100 ] :
|
|
O gráfico ao lado sugere
que o valor da função fica
cada vez mais próximo de 0
quando x ® + ¥
, isto é ,
|
Agora , vamos observar o gráfico da f no intervalo [ –100 , –1 ] :
|
|
O gráfico ao lado sugere
que o valor da função fica
cada vez mais próximo de 0
quando x ® - ¥
, isto é ,
|
,
se para todo número positivo
e
podemos encontrar um número positivo N ,
tal que
f ( x )
Î
(
L –
e
, L +
e
)
sempre que
x >
N .
Isto é ,
( II )
Seja f uma função definida em
todo ponto de um intervalo aberto
I = (
- ¥
, c )
.
A função f tem limite
L quando x
tende para
- ¥
, que denotamos por
,
se para todo número positivo
e
podemos encontrar um número positivo N ,
tal que
f ( x )
Î
( L –
e
, L +
e
)
sempre que
x <
– N .
Isto é ,
( i )
As propriedades de limite continuam
válidas quando
x® + ¥
e quando
x
® - ¥
; e temos
para todo
n Î
IN*
( ii )
Para todo
n Î
IN*
e
c
Î
IR
, temos
Para cada uma das
funções definidas abaixo , calcule o
limite da função quando x
® - ¥
e quando x ® + ¥
.
Solução :
Vamos estudar o comportamento de
funções tais que |
f ( x )
| é " muito grande " quando x
está próximo de 0 .
Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 :
|
|
O gráfico ao lado sugere
que o valor da função fica
cada vez maior quando quando x
®
0 , isto é ,
|
Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 :
|
|
O gráfico ao lado sugere
que o valor da função fica
cada vez menor quando quando x
®
0 , isto é ,
|
,
se para todo número positivo N
podemos encontrar um número positivo
d
tal que
f ( x )
>
N sempre que
x
Î
(
a –
d
, a
)
È
(
a , a +
d
)
.
Isto é ,
( II )
Seja f uma função definida em
todo número de um intervalo aberto contendo
a
, exceto
possivelmente em a
.
A função
f
tem " limite "
- ¥ quando
x
tende para
a
, que denotamos por
,
se para todo número positivo
N
podemos encontrar um número positivo
d
tal que
f ( x )
< –
N sempre que
x
Î
(
a –
d
, a
)<
È
( a , a +
d
)
.
Isto é ,
( i )
Note que , pela definição acima ,
é equivalente à
( ii )
As definições de limite laterais
infinitos são análogas .
( iii )
Apesar de escrevermos
ou
, estes limites NÃO existem .
Para cada uma das
funções e valores de a
definidos abaixo , calcule o limite da
função quando x
®
a –
e quando x ®
a + .
Solução :
Vamos resolver estes limites usando a
Observação 7.3 . Quando o denominador for um
polinômio , devemos fatorar o polinômio ,
para saber se está se aproximando
de 0 por valores maiores ou menores que
0 , quando x se aproxima de a .
Em muitos casos
não é possível determinar de
imediato o limite , quando isto acontece
nós dizemos que temos uma
indeterminação ( isto é , precisamos
fazer alguns cálculos para determinar o
limite ) .
Calcule os seguintes limites :
Solução :
A reta
y = b
é
uma assíntota horizontal ao
gráfico da função f
se
A reta
x = a
é
uma assíntota vertical ao
gráfico da função f
se pelo menos uma das
afimações abaixo for verdadeira :
Encontre as assíntotas horizontais
e verticais ao gráfico de cada uma
das seguintes funções :
Solução :
Assíntotas Horizontais : y = 0
Assíntotas Verticais : x = 0 ,
x = – 1 e x = 2
Assíntotas Horizontais : y = 1
Assíntotas Verticais : x = – 3
Assíntotas Horizontais : não existe
Assíntotas Verticais : x = 3
Assíntotas Horizontais : y = – 3
e y = 3
Assíntotas Verticais : x = – 2
e x = 2
Assíntotas Horizontais : não existe
Assíntotas Verticais : x = 1
Assíntotas Horizontais : y = 3
e y = – 3
Assíntotas Verticais : não existe
(solução)
(solução)
(solução)
(solução)
(solução)
(solução)
