Cap.VI. Continuidade e Teorema do Valor Intermediário
 
(e Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações)
 
 
VI-1.  Continuidade     Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
     Vamos  voltar  a  função  definida  no  exemplo 5.2  do  capítulo  anterior :
 
                       
 
    Um  conceito  intuitivo  de  continuidade  é :   " enquanto  caminhamos  no  domínio  da  função  sem  interromper  temos  que  poder  traçar  o  gráfico  da  função  sem  tirar  o  lápis  do  papel " .  O  domínio  desta  função  é  IR .  Observe  que  seu  gráfico  "tem  saltos"  em  x = 2  [  porque  não  existe ]    e   em  x = 3  [  porque  ]
 
    Observe ,  também ,  que " a Î IR{ 2 , 3 } .
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Definição  6.1 :  ( Continuidade  em  um  ponto )  :    Ý )
 
    A  função  f  é  contínua  em  a Î Dom f ,  se 
 
    e     .
 

 
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Observação 6-1 :     Ý )
 
    Assim ,  para  função  dada  na  introdução ,  temos :
 
      
 
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Definição  6.2 :  ( Continuidade  Laterais )  :    Ý )
 
    A  função  f  é  contínua  à  esquerda  em  a Î Dom f ,  se 
 
    e     .
 
    A  função  f  é  contínua  à  direita  em  a Î Dom f ,  se 
 
    e     .
 

 
    Assim ,  para  função  dada  na  introdução ,  temos :
 
      
 
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Observação 6.2 :     Ý )
 
    f  é  contínua  em  a   Û   f  é  contínua  à  esquerda  e  à  direita  em  a .
 

 
Definição  6.3 :  ( Função  Contínua )  :    Ý )
 
    A  função  f  é  contínua  se  é  contínua  em  todos  os  pontos  do  seu  domínio .
 

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Obs.:  Se  uma  função  não  é  contínua ,  dizemos  que  é  uma  função  descontínua .
 
 
Definição  6.4 :  ( Continuidade  em  Intervalos )  :    Ý )
 
·  No  intervalo  ( a , b )  :       
                                                                                                               
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  aberto  ( a , b ) Ì  Dom f ,   se   f  é  contínua  em  todos  os  pontos  de   ( a , b )  .
 
·  No  intervalo  ( a , b ]  :       
                                                                                                               
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  ( a , b ]  Ì  Dom f ,   se   f  é  contínua  em  ( a , b )  e  à  esquerda  em  b .
 
·  No  intervalo  [ a , b )  :       
                                                                                                               
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  ( a , b ]  Ì  Dom f ,   se   f  é  contínua  em  ( a , b )  e  à  direita  em  a .
 
·  No  intervalo  [ a , b ]  :       
                                                                                                               
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  fechado  [ a , b ]  Ì  Dom f ,   se   f  é  contínua  em  ( a , b ) ,   à  direita   em   a   e   à   esquerda   em   b .
 

 
    A  função  dada  na  introdução  é  descontínua ,  isto  é ,  NÃO  é  uma  função  contínua  ( porque  não é  contínua  nos  pontos  2  e  3  do  seu  domínio ) .  Essa  função  é  contínua  nos  intervalos  ( – ¥ , 2 ] , ( 2 , 3 ) e ( 3 , + ¥ ).
 
Exemplo 6.1 :     Ý )
 
    Determine  se  as  funções  dadas  abaixo  são  contínuas ,  caso  não  sejam  encontre  seus  pontos  de  descontinuidade :
(a)  
   (sol.)      
 
(b)  
    (sol.)      
 
(c)  
    (sol.)
 
 
Solução :
 
(a)  
 
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(b)  
 
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(c)  
 
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    Vamos  observar  estes  resultados  nos  gráficos  destas  funções :
 
 
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Exemplo 6.2 :     Ý )
 
    Dada    determine  se  F  é  contínua  nos  seguintes  intervalos :
(a)  ( – ¥ , – 2 )   (solução)       
 
(b)  ( – ¥ , – 2 ]   (solução)       
 
(c)  ( – 2 , – 1 )   (solução)       
 
(d)  [ – 1 , 1 ]   (solução)
 
(e)  ( 0 , 2 )   (solução)      
(f)  ( 1 , 2 )   (solução)      
(g)  [ 1 , 2 )   (solução)      
(h)  [ 2 , ¥ )   (solução)      
 
Solução :
 
 
(a)  ( – ¥ , – 2 )     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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(b)  ( – ¥ , – 2 ]     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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(c)  ( – 2 , – 1 )     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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  • Se  f  e  g  são  contínuas  em  a ,  então  f + g ,  f – g ,  f g  são  contínuas  em  a .
  •  
  • Se  f  e  g  são  contínuas  em  a   e   g ( a ¹ 0 ,  então  f / g  é  contínua  em  a .
  •  
  • Se  g  é  contínua  em  a   e   f  é  contínua  em  g ( a )  ,  então  f o g  é  contínua  em  a .
  •  
  • Se  f  e  g  são  funções  contínuas ,  então  f + g ,  f – g ,  f g ,  f / g ,  f o g  e  g o f  são  funções  contínuas .
 
 
 
(a)    e  ,  as  funções  f – g ,  f / g ,  f o g  e  g o f  são  contínuas ?      (solução)
(b)    e    ,  as  funções  f g ,  f o g  e  g o f  são  contínuas ?     (solução)
 
Solução :
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Teorema do Valor Intermediário:  ( TVI )  :    Ý )
 
    Se  f  é  contínua  no  intervalo  fechado  [ a , b ] ,  então  para  todo  k  entre  f ( a )  e  f ( b )  existe  pelo  menos  um  c Î ( a , b )  tal  que  k = f ( c ) .
 
 
 

 
 
 
(a)  Verifique  que  a  equação  2 x 4 – 9 x 2 + 4  =  0   tem  pelo  menos  uma  solução  no  intervalo  ( 0 , 1 ) .    (solução)
 
(b)  Observe ,   ao  lado ,   no   gráfico   da   função   f ( x )  =  2 x 4 – 9 x 2 + 4 ,   que   este   polinômio   possui   4   raízes   reais .   Verifique   que   esta   função   é   par   e   que   – 2   e   2   são   raízes   de   f .   Além   disto ,   veja   neste   gráfico   que   as   outras   raízes   estão   no   intervalo   ( 0 , 1 )   ( conforme  pedido  para  verificar  no  item  "a" )   e   no   intervalo   ( – 1 , 0 ) .    (solução)     (ver o gráfico ao lado ampliado)
(c)  Calculando   um   valor   aproximado   de   f   para   alguns  valores   de   x   encontramos :
 
 
Com   estas   informações ,   lembrando   que   – 2   e   2   são   raízes   de   f ,   quais   os   menores   intervalos   abertos   onde   podemos   encontrar   as   outras   duas   raízes ?   Por  que ?    (solução)
 
(d)  Demostre   formalmente   que   essas   outras   duas   raízes   realmente   se   encontram   nos   intervalos   encontrados   no   item   "c" .     (solução)
 
Solução :
 
 
    Seja   f ( x ) = 2 x 4 – 9 x 2 + 4 ,   a   f   é   uma   função   polinomial   e   portanto   f   é   uma   função   contínua   em   IR .
 
    Como   [ 0 , 1 ] Ì Dom f = IR ,   temos   que   f   é   contínua   no   intervalo   intervalo   fechado   [ 0 , 1 ] .
 
    Logo ,   existe   pelo   menos   uma   solução   da   equação   2 x 4 – 9 x 2 + 4  =  0   no   intervalo   ( 0 , 1 ) .
 
 
 
 
 
 
Com   estas   informações ,   lembrando   que   – 2   e   2   são   raízes   de   f ,   quais   os   menores   intervalos   abertos   onde   podemos   encontrar   as   outras   duas   raízes ?   Por  que ?
 
    Com   as   informações   dadas ,   os   menores   intervalos   abertos   onde   podemos   encontrar   as   outras   duas   raízes   são   (  – 0 , 8 ,  – 0 , 7  )   e   (  0 , 7  ,  0 , 8  ) .
 
    Porque ,
 
    ·  f   é   uma   função   polinomial   e   portanto   contínua   em   IR ,   então   para   f    ter   uma   raiz   é   preciso   que  
      
 
perto   desta   raiz   o   valor   da   função   mude   " de  positivo  para  negativo "   ou   " de  negativo  para  positivo " ,
 
    ·  f   é   uma   função   par ,   logo    f ( 0 , 7 ) = f ( – 0 , 7 ) @ 0,0702 > 0   e   f ( 0 , 8 ) = f ( – 0 , 8 ) @ – 0,9408 < 0 .
 
 
 
 
    Logo ,   f   possui ,   pelo  menos ,   uma   raiz   no   intervalo   (  – 0 , 8  ,  – 0 , 7  ) .
 
    Então ,  como    f    é  uma  função   par ,   temos    que    f    também    possui ,    pelo    menos ,    uma    raiz     no     intervalo    (  0 , 7  ,  0 , 8  ) .
 
 
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