Cap.V. Limite , Teorema do Confronto , Teorema do Anulamento
           e  Limites Laterais
 
 
V-1.  Limite     Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
     Considere  a  função    ,    Dom f  =  IR – {1} .
     Fatorando  o  numerador  da  função  f ,  temos
 
 
    A  função  f  não  está  definida  em  1 ,  mas  está  definida  em  todo  x  "próximo"  de  1 .
 
     Vamos ,  observar  o  que  acontece  com  o  valor  de  f ( x )  a  medida  que  x  se  aproxima  de  1 :
 
 
    Agora ,  vamos  observar  no  gráfico  da  f .
 
 
    O  valor  de    parece  aproximar-se  de  2  quando  x  aproxima-se  de  1 .  Se  isto ,  de  fato ,  acontece ,  dizemos  que  o  limite  de    quando  x  aproxima-se  de   1   é   2  ,   e  denotamos  por :
 
 
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Definição  de  Limite :     Ý )
 
    Seja f uma função  definida  em  todo  ponto  de  um  intervalo  aberto  que  contém  a ,  exceto  possivelmente  em  a .
 
    A  função  f  tem  limite  L  quando  x  tende  para  a  ( isto  é ,  quando  x  aproxima-se  de  a ) ,  que  denotamos  por
 
 
 .
 
    Isto  é ,
 
 

 
    Observe  a  definição  de  limite  na  animação  abaixo .
 
 
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Algumas Propriedades de Limite     Ý )
 
1.  O  limite  se  existe  é  único .   ( unicidade  do  limite )             ( demonstração )
 
 
( figura propriedade 2 - i )       ( figura propriedade 2 - i i )       ( figura propriedade 2 - i i i )       ( demonstração )
 
( demonstração )
 
                ( figura propriedade 4 )                ( demonstração )
 
                ( figura propriedade 5 )                ( demonstração )
 
( demonstração )
 
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Observação 5-1 :     Ý )
 
Produto  Notável  para  resolver  algumas  indeterminações  envolvendo  raízes  ou  fatores  do  tipo  " x n – a n "
 
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Exemplo 5-1 :     Ý )
 
(a)        (solução)
     (b)        (solução)
(c)        (solução)
     (d)        (solução)
(e)        (solução)
     (f)        (solução)
(g)        (solução)
     (h)        (solução)
 
Solução :
 
(a)        (voltar para o enunciado)
 
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(b)        (voltar para o enunciado)
 
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(c)        (voltar para o enunciado)
 
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(d)        (voltar para o enunciado)
 
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(e)        (voltar para o enunciado)
 
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(f)        (voltar para o enunciado)
 
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(g)        (voltar para o enunciado)
 
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(h)        (voltar para o enunciado)
 
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Teorema  do  Confronto  ( Teorema  do  Sanduíche ) :      Ý )
 
 
( demonstração )
 
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Observação 5-2 :  ( Teorema  do  Anulamento )     Ý )
 
( demonstração )
 
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Exemplo 5-2 :     Ý )
 
(solução)
(solução)
 
Solução :
 
  
 
 
( ver gráfico )
 
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V-2.  Limites  Laterais     Ý )
 
 

 
Definição  de  Limite  à  Esquerda :      Ý )
 
 

 
Definição  de  Limite  à  Direita :      Ý )
 
 

 
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Observação  5-3 :      Ý )
 
 
    Portanto ,
 
 
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Exemplo 5-3 :     Ý )
 
    
 
   (a)      (solução)  
   (b)      (solução)  
   (c)      (solução)  
   (d)      (solução)  
 
Solução :
 
 
(a)        ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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(b)        ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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(c)        ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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(d)        ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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