Cap.IV.  Funções Algébricas  e  Trigonométricas
 
 
IV-1.  Funções Algébricas     Ý )
 
 

 
Definição de Funções Algébricas :      Ý )
 
    As  funções  obtidas  por  um  número  finito  de  operações  algébricas  são  denominadas  funções  algébricas .
 

 
     Por  exemplo ,  a  função    é  uma  função  algébrica .     Ý )
 
    No  nosso  curso  estamos  trabalhando  com  funções  reais  de  uma  variável  real  ( isto  é ,  funções  cujo  domínio  e  imagem  são  reais ) .  Quando  o  domínio  não  é  especificado ,  vamos  considerar  como  domínio  o  maior  conjunto  de  números  reais  para  os  quais  a  regra  da  função  pode  ser  aplicada .  Nesse  exemplo ,
 
 
 
 
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IV-2.  Funções Trigonométricas     Ý )
 
 
IV-2-i.  Funções  Co-seno  e  Seno      Ý )
 
 
Introdução :     Ý )
 
    Considere   um   ângulo   t ,   medido   em   radianos   num   círculo   de   equação   x 2  +  y 2  =  1 .   Esta   medida   é   o   comprimento   do   arco   desde   o   ponto  ( 1 , 0 )   até   o   ponto   P ( x ,   y ) ,   no   sentido   anti-horário .
 
 

 
Definição de Seno e Co-seno:     Ý )
 
    As  funções  trigonométricas  co-seno  e  seno  são :
 
  cos t  =  a  primeira  coordenada  de  P = ( x y ) ,  x
 
  sen t  =  a  segunda  coordenada  de  P = ( x y ) ,  y

 
Observação 4-1 :     Ý )
 
    Uma  conseqüência  imediata  da  definição  ( já  que  o  ponto  P  =  ( x ,  y )  =  ( cos t , sin t )  pertence  ao  círculo  unitário  com  centro  na  origem )  é  a  identidade  fundamental
 
( sen t ) 2 + ( cos t ) 2  =  1
 
    Quando  t  cresce  e  P  move  em  torno  do  círculo ,  os  valores  do  seno  e  do  co-seno  de  t  oscilam ,  e  acabam  se  repetindo  quando  P  retorna  a  pontos  onde  já  tenha  estado .  Os  físicos  usam  bastante  o  termo  oscilação  para  funções  que  se  comportam  como  o  seno  e  o  co-seno .
 

 
Definição:     Ý )
 
    A  amplitude  de  uma  oscilação  é  a  metade  da  distância  entre  os  valores  máximo  e  mínimo .  O  período  de  uma  oscilação  é  o  tempo  necessário  para  que  a  oscilação  execute  um  ciclo  completo .
 

 
Observação 4-2 :     Ý )
 
    A   amplitude   de   sen t   e   de   cos t   é   1 ,   pois   como   ( sen t ) 2  +  ( cos t ) 2  =  1   temos
 
| sen t£   1    e    | cos t£   1
 
    O   período   é   2 p ,   já   que   este   é   o   valor   do   comprimento   do   círculo   de   raio   1 .   Assim ,
 
sen ( t + 2 p )  =  sen ( t )    e    cos ( t + 2 p )  =  cos ( t )
 
    Este   comportamento   oscilatório   das   funções   seno   e   co-seno   faz   com   que   as   equações 
 
sen ( t )  =  a    e    cos ( t )  =  a
 
tenham  infinitas  ou  nenhuma  solução .   Por  exemplo ,   as  infinitas  soluções  de   cos t  =  1   são  da  forma   t  =  2 k p ,   t Î    e   a   equação   cos t  =  2   não   possui   nenhuma   solução .
 
Função Seno :     Ý )
 
f ( x )  =  sen ( x ) ,   Dom f  =  IR   e   Im f  =  [ -1 , 1 ] .
 
    Observe  o  gráfico  da  função  seno  em  uma  animação .
 
 
Função Co-seno :     Ý )
 
f ( x )  =  cos ( x ) ,   Dom f  =  IR   e   Im f  =  [ -1 , 1 ] .
 
    Observe  o  gráfico  da  função  co-seno  em  uma  animação .
 
 
Observação 4-3 :     Ý )
 
 
( i )  Vamos  observar  os  gráficos  das  funções  seno  e  co-seno  na  mesma  animação .
 
 
( i i )  Observe  os  gráficos  de  seno  e  co-seno  juntos .
 
 
( i i i )  Observe  na  tabela  abaixo  o  sinal  do  seno  e  do  cosseno .
 
1o Quadrante 2o Quadrante
sen ( t³  0    e   cos ( t³  0 sen ( t³  0    e   cos ( t£  0
 
3o Quadrante 4o Quadrante
sen ( t£  0    e   cos ( t£  0 sen ( t£  0    e   cos ( t³  0
 
( i v )    Nas  tabelas  abaixo  vamos  ver  os  valores  de  seno  e  co-seno  para  alguns  ângulos .
 
    0  
  sen     0     1     0     – 1     0  
  cos     1    0
  – 1    0     1  
 
  sen  
  cos  
 
estes  valores  devem  ser  entendidos  e  memorizados )
 
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Algumas  propriedades  das  funções  seno  e  co-seno :      Ý )
 
 
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
  Lei  dos  Co-senos :             ( demonstração )
 
    O  co-seno  e  o  seno  são  as  funções  trigonométricas  básicas ,  já  que  todas  as  outras  funções  trigonométricas  podem  ser  definidas  em  função  do  seno  e  do  co-seno .  Por  exemplo ,  a  função  tangente  é  o  quociente  do  seno  pelo  co-seno .
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IV-2-ii.  Função  Tangente      Ý )

 
Definição:
 
    A  função  tangente  é  definida  por 
 
 ,   para  todo  x  real  tal  que  cos x  não  se  anula .

 
    Observe  a  variação  do  valor  da  tangente  no  círculo  trigonométrico  na  animação  ao  lado .
 
    Note  que  as  interseções  da  função  tangente  com  o  eixo  x  são  as  mesmas  da  função  seno .  Além  disso ,  a  tangente  possui  polos  nos  zeros  da  função  co-seno .  Geometricamente  é  evidente  que  a  tangente  é  periódica  com  período  p .
 
Função  Tangente :
 
 
    Observe  o  gráfico  da  função  tangente  em  uma  animação .
 
 
Observação :
 
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Outras  Funções  Trigonométricas 
 
IV-2-iii.  Função  Co-tangente      Ý )
 

 
Função  Co-tangente :
 
 
 

 
 
    Observe  a  variação  do  valor  da  co-tangente  no  círculo  trigonométrico  em  uma  animação .
 
 
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IV-2-iv.  Função  Secante      Ý )
 

 
Função  Secante :
 
 

 
    Observe  a  variação  do  valor  da  secante  no  círculo  trigonométrico  em  uma  animação .
 
 
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IV-2-v.  Função  Co-secante      Ý )
 

 
Função  Co-secante :
 
 

 
    Observe  a  variação  do  valor  da  co-tangente  no  círculo  trigonométrico  em  uma  animação .
 
 
    Agora ,  observe  o  gráfico  da  função  co-secante  na  animação  abaixo .
 
 
 
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
( dem )
 
 
 
 
    Esboce  o  gráfico  das  seguintes  funções  no  intervalo  indicado :
 
Solução:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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