Cap.II.  Funções Lineares , Função Modular  e  Função Piso
 
 
II-1.  Funções Lineares     Ý )
 
 

 
Definição:     Ý )
 
    Uma  função  linear ,  cujo  gráfico   é  sempre  uma  reta ,  é  uma  função  f   da  forma :
 
onde  m  e  b  são  constantes .
 
    A  constante  m  é  chamada  de   coeficiente  angular . Temos
 
m = tan a
 
onde  a  é  o  ângulo   formado  pela  reta  e  o  semi-eixo  positivo ,  orientado  no  sentido   anti-horário ,  a  partir  do  eixo  x  .
 
    A  constante  b  é  denominada   coeficiente  linear  da  reta .   Temos
 
b = f ( 0 )
 
isto  é ,  a  reta  intercepta  o  eixo  y   no  ponto  ( 0 , b ) .
 

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 Coeficiente Angular e Linear     Ý )
 y = a x + b  

 
b > 0  e  tan a > 0
a Î
 
b < 0  e  tan a > 0
a Î
 
b > 0  e  tan a < 0
a Î
 
b < 0  e  tan a < 0
a Î
 
    Observe  que  se  m = 0 ,   então  a  função  linear  f ( x ) = b   é  a  função  constante  e  assim  as  funções  lineares  incluem  as  funções  constantes .
 
    Consideremos  dois  pontos  distintos  quaisquer  ( x1 , f ( x1 ) )  e  ( x2 , f ( x2 ) ) .   Observe  nas   figuras  abaixo  que  o  coeficiente  angular  satisfaz
 
 
 
 
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Exemplo 2.1 :  A  fórmula  f( x ) = 2 x + 1   define  uma  reta.   Esboce  o  seu   gráfico :     Ý )
 
Solução :
 
    Para  fazer  o  gráfico  de  uma  reta  precisamos  de  dois  pontos  distintos  da  reta .
 
f ( 0 ) = 2 · 0 + 1 = 1                        f ( 1 ) = 2 · 1 + 1 = 3
 
 
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Observação  2.1 :      Ý )
 
(i)  Para  ter  uma  idéia  de   como   as  retas  da  forma   y = m x  variam    com  o  coeficiente  angular  m ,  vamos  ver   os  gráficos  de  várias  destas  retas  juntas ,  com   m = – 2 , – 1 / 2 , – 1 , 1 / 2 , 1 , 2 .
 
 
    Vamos  ver  uma  animação  para  observar  melhor  a   variação  do  ângulo   a    na   equação   da   reta    y = m x ,   sendo    m = tan a  .
 
 
(ii)  Para  ter  uma  idéia  de   como   as  retas  da  forma   y = x + b   variam  com  o  coeficiente  linear  b ,  vamos  ver   os  gráficos  de  várias  destas  retas  juntas ,  com   b = – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 .
 
 
    Vamos   ver   duas   animações    para   observar   melhor   a   variação   do   coeficiente   linear  b    na   equação   da    reta    y = x + b   e   y = – x + b .
 
            
 
    Variando  o  coeficiente  linear  na  reta  estamos  fazendo  translações  verticais  do  seu   gráfico .
 
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Exemplo 2.2 :  Ache  o  coeficiente  angular ,  o  coeficiente  linear  e  a  interseção  com  os  eixo  x  e  y  ,  da  reta  dada  pela  equação    .   Faça  um  esboço  do  gráfico  desta  reta .      Ý )
 
Solução :
    ®       ®      Coef .  Angular :   e    Coef .  Linear : 
 
Interseção  com  o  eixo  y :   fazendo  x = 0 ,   obtemos   y = 1     ®      Pt  de  interseção  c/  eixo  y :   ( 0 , 1 )
 
Interseção  com  o  eixo  x :   fazendo  y = 0 ,   obtemos   ®     Pt  de  interseção  c/  eixo  x :  
Gráfico  desta  reta :
 
 
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Equação  de  reta :      Ý )

 
Caso  Particular :   Se   y1 = y2   e   x1  ¹  x 2 ,   a  reta  é  horizontal  e  a  equação  desta  reta  é   y  =  y 1 .
 
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Retas  Paralelas  e  Retas  Perpendiculares :      Ý )
 

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II-2.  Função Modular     Ý )
 
 

 
Definição :      Ý )
 
 

 
    Observe  que  o  módulo  ( ou  valor   absoluto )   é    não  negativo  .   Quando   a < 0 ,  o   sinal    " – "   é  necessário  para  trocar   o  número  negativo  por  seu  simétrico ,   que   é   positivo .   Por  exemplo :   | 2 | = 2  e  | – 2 | = – ( – 2 ) = 2
 
Gráfico da Função Módulo
 
 
Observação 2.2 :      Ý )
 
    Para   a > 0 , temos :
 
            
 
Observação 2.3 :      Ý )
 
(i)  Quando  somamos  uma  constante  positiva   à  variável  independente ,  x ,  o   gráfico  é  transladado  horizontalmente  para  esquerda  .   Observe  este  fato  na  animação   abaixo  para  a  função  f(x) = | x + a | ,  a Î [ 0 , 2 ] .
 
 
(ii)  Quando  subtraímos  uma  constante  positiva   à  variável  independente ,  x ,  o   gráfico  é  transladado  horizontalmente  para  direita  .   Observe  este  fato  na  animação   abaixo  para  a  função  f(x) = | xa | ,  a Î [ 0 , 2 ] ..
 
 
(iii)  Quando  somamos  uma  constante  positiva   à  função  valor  absoluto ,  o  gráfico   é  transladado  verticalmente  para  cima .    Observe  este  fato  na  animação  abaixo  para  a  função  f(x) = | x | + aa Î [ 0 , 2 ] .
 
 
(iv)  Quando  subtraímos  uma  constante  positiva   à  função  valor  absoluto ,  o  gráfico   é  transladado  verticalmente  para  baixo .    Observe  este  fato  na  animação  abaixo  para  a  função  f(x) = | x | – aa Î [ 0 , 2 ] .
 
 
  • Essas  translações  também  aconteciam  para   outras  funções .  Lembre  que  isto   vale  para  qualquer  função ,  isto  é ,   o  gráfico  de   f ( x + c )   é  uma   translação  horizontal  do  gráfico  de   f ( x )   e  o gráfico  de   f ( x ) + c   é  uma  translação  vertical   do  gráfico  de   f ( x ) .
  •  
    (v)  Veja ,  na  animação  abaixo ,   o  que  acontece  quando  multiplicamos  x   por  uma  constante  não  negativa .
     
     
    (vi)  Veja ,  na  animação  abaixo ,   o  que  acontece  quando  multiplicamos  x   por  uma  constante  não  positiva .
     
     
    Observação 2.4 :      Ý )
     
        Uma  outra  maneira  de  definir  a  função  módulo  é   .
     
    Valor  Absoluto de uma  Função :      Ý )
     
     
     
     
    Exemplo 2.3 :  Esboce  o  gráfico  de  cada  uma  das  funções  abaixo .     Ý )
     
             (i)  f ( x )  =  | x2 + 2 x – 8 |   (solução)               (ii)  g ( x )  =  | ( x + 1 )3 – 1 |   (solução)
     
    Solução :
     
    (i)  f ( x )  =  | x2 + 2 x – 8 |
     
     
     
     
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    (ii)  g ( x )  =  | ( x +1 )3 – 1 |
     
     
     
     
     
     
     
     
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    Exemplo 2.4 :     Ý )
        
    (a)  Esboce  o  gráfico  da  função  f .   (solução)
     
    (b)  Estude  a  paridade  da  função  f .   (solução)
     
    (c)  Esboce  o  gráfico  de   .    (solução)
    (d)  Esboce  o  gráfico  de   .  (solução)
    (e)  Encontre  o  gof .  (solução)
     
    Solução :
     
    (a)  Esboce  o  gráfico  da  função  f .
     
     
     
     
     
     
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    (b)  Estude  a  paridade  da  função  f .
     
    Logo ,   f  é  PAR .
     
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    (c)  Esboce  o  gráfico  de   .
     
     
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    (d)  Esboce  o  gráfico  de   .
     
     
     
     
     
     
     
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    (e)  Encontre  o  gof .
     
     
     
     
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    II-3.  Função Piso     Ý )
     
     

     
    Definição :      Ý )
     
        A  Função  Piso ,  que  denotamos  por  [[ ]] ,  é  definida  por :
     
    [[ x ]]  =  maior  inteiro  menor  ou  igual  a  x
     

     
        Observe  que :
     
     
        O  gráfico  da  função  piso  é
     
     
    Exemplo 2.5 :    Obtenha  o  gráfico  de   f ( x )  =  x – [[ x ]] .     (solução)     Ý )
     
    Solução :
     
        
     
     
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