Cap.I.  Funções
 
 
I-1.  Função e Gráfico de Funções       )
 
 
    Um dos conceitos importantes em Matemática é o de função.
 
    Mas, o que é uma função?
 

 
Definição  de  uma  Função :      )

    Uma função são três "objetos": um conjunto chamado de domínio, , outro conjunto chamado de contra-domínio, , e uma regra que associa cada elemento do domínio , único elemento do contra-domínio.   A regra é geralmente escrita como ou ;  e   : .
 
    A imagem da função, é um subconjunto do contra-domínio onde cada elemento é igual a , para algum no domínio da função .     Im  =   { 
,  }

    Na figura acima, o domínio é { a , b }, o contradomínio é { R , S , T } e a imagem é { R , S }.


 
Um  Exemplo  de  Função :     
 )
 

    Seja f uma função com domínio { –2 , –1, 0 , 1 , 2 } e contra-domínio { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, dada pela regra .
    Assim, verificamos que :
= 4 , = 1 , = 0 , = 1 , = 4 .
    Como podemos facilmente observar , a imagem de  f   é { 0 , 1 , 4 }.
 
 
    Uma maneira de pensar como uma função funciona é imaginar que a regra é uma "caixa preta" que efetua alguma operação . Por exemplo , quando você coloca uma moeda numa máquina de amendoim , o dinheiro (elemento do domínio) entra , alguma coisa acontece dentro da máquina ( regra ) e sai um amendoim (imagem ).
 

 
Como aplicaríamos esta idéia de máquina nesse exemplo ?

 




 

Outros Exemplos de Funções :      )
 
    Nos exemplos abaixo, vamos sempre considerar que o contra-domínio é .   Nos dois primeiros exempos, manteremos a mesma regra de elevar o número ao quadrado, e vamos apenas variar o domínio.
 
A  regra  que  associa  a  todo  número  inteiro ,  o  seu  quadrado.      Neste  caso ,  o  domínio   é  o  conjunto dos  números  inteiros ,   = { ... , –3 , –2 , –1 ,0 , 1 , 2 , 3 , ...} ,   a   regra   é      e   a   imagem   é   o   conjunto   { 0 ,1, 4 , 9 , ...}.
 
A  regra  que  associa  a  todo  número  real ,  o  seu  quadrado .    Neste  caso ,  o  domínio  é  o  conjunto  dos  números  reais ,   ,   a  regra  é    e  a  imagem  é  o  conjunto  dos  reais  não  negativos ,  { x  | x  0 }.
 
A  regra  que  associa  a  todo  número  real   y ,  o  número  .     Neste  caso ,  o  domínio  é  o  conjunto  dos  números  reais  e  a  regra  é  .    Não  é  evidente  quem  é  a  imagem .    Até  o  final  deste   curso  saberemos  determinar  o  conjunto  imagem  de  funções  como  esta .
 
  A  regra  que  associa  a  todo  número  real  não  nulo ,  x ,  o  número   .     Neste  caso , o  domínio  é  o  conjunto  dos  números  reais  não  nulos ,    – {0},  a  regra  é  e  a  imagem  é   – {0}.
 
Observação:      )
 
 
(i)  Neste curso só estudaremos funções reais de uma variável real, isto é, funções cujos domínios e contra-domínios são subconjuntos do conjunto dos reais. Caso o contra-domínio não seja especificado, convencionaremos neste curso, que ele será o conjunto dos números reais .
(ii)  As funções dos três primeiros exemplos possuem a mesma regra , mas, não são iguais porque seus domínios são diferentes.  Entretanto, vamos convencionar que, quando é dada somente a regra da função f , seu domínio é o "maior" subconjunto dos reais no qual a regra faz sentido e vamos denotar esse conjunto por dom f.  Assim, por exemplo, dada a regra , o "maior" domínio possível é dom f = IR – {0}.

   Podemos representar funções é através de seu gráfico.
   E o que é um gráfico de uma função?
 

 

Definição de Gráfico de uma Função:       )
 
    O gráfico de uma função f : é o subconjunto do planodado por:
  =  {  ( x , f ( x  ) )   |   x    }                                            

 
OBS:     =   { ( x , y )  |  x    IR  e  y   IR } .
 
Gráfico do 1o Exemplo de Funções:     )
 
    No  caso  do  1o  exemplo ,  o  gráfico  seria  { ( –2 , 4 )  ,  ( –1 , 1 )  ,  ( 0 , 0 )  ,  ( 1 , 1 )  ,  ( 2 , 4 ) }.
    Neste  caso ,  é  fácil  representar  graficamente  o  conjunto  .  Basta  desenhar  dois  eixos  e  marcar  os  pontos.
gráfico = { ( –2 , 4 )  ,  ( –1 , 1 )  ,  ( 0 , 0 )  ,  ( 1 , 1 )  ,  ( 2 , 4 ) }


    Normalmente  quando  se  esboça  um  gráfico , especifica-se  os  eixos  coordenados .  Neste  caso ,  o  eixo  horizontal  representa  o  número  inteiro ,  x ,  e  o  eixo  vertical , o  seu  quadrado ,  y .

 
Observação Sobre Gráfico de uma Função:      )
 

    Lembre  que  a  cada  elemento  do  domínio ,  corresponde  um  único  elemento  do  contradomínio .  Assim ,  cada  reta  vertical ,  x = a ,  só  pode   interceptar  o  gráfico  no  máximo  em  um  ponto  ( na  verdade ,  intercepta  exatamente  em  um  ponto  se  a  abscissa  deste  ponto  pertence  ao  domínio ,  e  em  nenhum  ponto ,  se  a  abscissa  não  pertence  ao  domínio ) .
 
    Assim , o desenho abaixo , NÃO representa o gráfico de uma função.
 
Alguns Gráficos de Funções:     
 )
 
y   =   x
 
y   =  | x |
 
y   =  x 2
 
y   =  
y   =  x 3
y   =  
 
y   =  1 / x
y   =  1 / x 2
 
 
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I-2.  Combinação e Composição de Funções      )
 

 
Combinação de funções :     
 )
 
Composição de funções :      )
 
     A função f composta com a função g ,  que denotamos  f o g  ,  é a função definida por :  f ( g ( x ) ).
 
      Dom ( f o g )  =  {  x     Dom g   |   g ( x  Dom f  }
 
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Exemplo 1.1 :      (  )
 
(a)  Sejam   f ( x ) = e  g ( x ) = ,  encontre  ( f – g ) ( x ) ,  ( f / g )( x ) ,  ( f o g ) ( x )  e seus domínios .    (solução)
(b)  Sejam   f ( x ) =  e   g ( x ) = ,  encontre  ( f g )( x ) ,  ( f o g )( x )  e  ( g o f )( x ) .    (solução)

 
Solução :

 
(a)    f ( x ) =  e  g ( x ) = ;   Dom f  =  [ )    e   Dom g  =  IR.
  • ( f – g )( x )  =  f ( x ) – g ( x )  =   =  ;   
     Dom ( fg ) = Dom f  
    Dom g = [ ) .


  • ( f / g )( x )  =   =   ;   
     Dom ( f / g )  =  Dom f 
    Dom g  –  { x IR  |   g ( x ) = 0 }  =  [ )  – { } = [ )    ( ) .


  • ( f o g )( x )  =  f ( g ( x ) )  =    =    ;    
     Dom ( f o g )  =  {  x  
    Dom g  |  g ( x ) Dom f  }   =
                                                                                 =  {  x 
    IR   |      [ )  }  =  ( ]    [ )

  •  ( g o f ) ( x )  =  g ( f ( x ) )  =     =     =    ;    
     Dom ( f o g )  =  { x 
    Dom f   |   f ( x Dom g }  =  {  x  [)   |   IR   } =  [  )
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(b)   f(x) =   e   g(x) =
 

 
  •  ( f · g ) ( x )  =  f ( x ) · g ( x )  =     =  

  •  
  •   ( f o g ) ( x )  =  f ( g ( x ) )  =   =  ?
  •  
    •  Se   x < 2  ,     g ( x )   = 

    •  0  se  x  [ –1 , 1 ]         g ( x )   =   0   se  x  [ –1 , 1 ]
      > 0  se  x
      () ()      g ( x )   =   > 0  se  x () ( 1 , 2 )
    •   Se   x  2  ,     g ( x )   = 

    •  
       0   se  x  ( ]     não  ocorre
      > 0  se  x
      ( –)       g ( x )   =  > 0  se  x [ )
    Logo,
( f o g ) ( x )  =  f ( g ( x ) )  =    = 
 
Outra  maneira  de  encontrar  fog :
 
 

 
  •   ( g o f ) ( x )  =  g ( f ( x ) )  =   =  ?
    •   Se   x  0  ,     f ( x )   = 

    • < 2  se  x 
      ( )        f ( x )   =  < 2  se  x  ( ]
       2  se  x ( ]        f (  x )   =    2  se  x ( ]
    •   Se   x > 0  ,     f ( x )   = 

    • < 2   se  x 
      ( )     f (  x )   =   < 2  se  x ( )
       2  se  x ( ] [ )      f (  x )   =    2  se  x [ )
  •     Logo,
    ( g o f ) ( x )  =  g ( f ( x ) )  =    = 
     
    Outra  maneira  de  encontrar  gof :
     
     
     
     
     
     
    (b)      ,       e        (solução)
     
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    I-3.  Translação de Função       )
     
     
    Solução :

     
    (a)      e   

     
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    (b)      ,       e   

     
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    I-4.  Comprimir e Esticar Funções       )
     
     
     
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    Exemplo 1.3 :     Seja   ,  esboce  juntos  os  gráfico  das  seguintes funções :      (  )
     
    (a)       (solução)
     
    (b)       (solução)
     
    (c)       (solução)
     
    (d)       (solução)
     
     
    Solução :
     
    (a)  
     
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    (b)  
     
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    (c)  
     
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    (d)  
     
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    I-5.  Simetria       )
     
     
        Veja a Apresentação do PowerPoint
      (escolha ver em Tela Inteira clicando com botão direito na Apresentação ao abrir) 
     
     
     
    Exemplo 1.4 :   Esboce o gráfico de ,  junto com o gráfico de cada uma das funções abaixo :     (  )
    (a)     (solução)          (b)    (solução)           (c)     (solução)
    ( Observe  a  simetria  entre  os  gráficos )
     
    Solução:
     
    (a)       e   
     

     
    #  são  simétricos  em  relação  ao  eixo  y
     
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    (b)       e   
     

     
    #  são  simétricos  em  relação  ao  eixo  x
     
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    (c)       e   

     
    #  são  simétricos  em  relação  à  origem
     
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        Vamos ver agora os 4 gráficos juntos.
     
     
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    Exemplo 1.5 :    (  )
      Esboce  os  gráficos  de     e   .   O  gráfico  da  função  f  possui  alguma  simetria ?
     
    Solução:
     

     
    #  Observe  que  f ( x ) = f ( – x ) ,  logo  o  gráfico   da  função  f   é  simétrico  em  relação   ao  eixo  y .
     
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    Exemplo 1.6 :    (  )
       Esboce os gráficos de  e  .   O gráfico da função  f  possui alguma simetria ?
     
    Solução:
     

     
    #  Observe  que  f ( x ) = – f ( – x ) ,  logo  o  gráfico   da  função  f   é  simétrico  em  relação   à  origem .
     
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    I-6.  Função Par e Função Ímpar       )