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OBSERVAÇÕES

A palavra poliedro tem sido usada em diferentes épocas por diferentes pessoas com os mais variados significados (muitas vezes, incompatíveis entre si). Não é raro que uma mesma pessoa use o mesmo termo com interpretações diferentes em momentos diferentes. Sem uma definição precisa, interpretações equivocadas (como, por exemplo, sobre a validade do Teorema de Euler) podem aparecer. Segundo [Grünbaum, 2003]:

Desde a Grécia antiga, matemáticos tentam determinar o número de poliedros regulares. Um estudo dos cinco “sólidos platônicos” é o tópico final dos Elementos de Euclides. Embora esta lista de poliedros regulares fosse considerada completa, dois milênios depois, Kepler encontrou dois outros poliedros regulares e, no início do século XIX, Poinsot encontrou mais dois; Cauchy então demonstrou que não existiam outros. Mas, na década de 1920, Petrie e Coxeter encontram três novos poliedros regulares e provaram a completude desta enumeração. Contudo, em 1977 eu descobri uma nova classe de poliedros regulares e, em seguida, Dress provou que acrescentando mais um poliedro, a lista de poliedros regulares estava completa. Então, cerca de dez anos atrás, eu encontrei mais uma nova categoria de poliedros regulares e, até agora, ninguém afirmou que todos os poliedros regulares foram finalmente encontrados.

Como a contagem do número de poliedros regulares estabelecida por matemáticos distintos como Euclides, Cauchy, Coxeter e Dress é logo desmentida a seguir? A resposta é muito simples – todos os resultados estão corretos; o que mudou é o significado do termo “poliedro” adotado por cada um destes matemáticos. Enquanto pessoas diferentes interpretarem o conceito (de poliedro) de maneira diferente, sempre existirá a possiblidade de que resultados sejam verdadeiros sob uma interpretação e sejam falsos sobre outra interpretação. De fato, mesmo variações sutis na definição podem produzir mudanças significativas na validade dos resultados.

Moral: ao ler um artigo ou livro sobre poliedros, é preciso identificar qual é a definição que está sendo usada pelo autor [como já nos ensinava Humpty Dumpty, personagem da obra “Alice no País dos Espelhos” de Lewis Carroll (1832-1898)].

Diálogo entre Alice e Humpty Dumpty


DEFINIÇÕES

Definição (Poliedros). Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono. Cada um destes polígonos chama-se uma face do poliedro, cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do poliedro [Lima et alii, 2006].

Definição (Poliedros Convexos). Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior deste poliedro. Dizemos que um poliedro é convexo se o seu interior C é convexo, isto é, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C. Em um poliedro convexo toda reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em, no máximo, dois pontos. [Lima et alii, 2006].

De acordo com a definição dada acima, um poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos satisfazendo certas condições. Se o poliedro é convexo, ele limita uma região do espaço: o seu interior. A reunião do poliedro com seu interior constitui o que chamamos de um sólido. Um poliedro é “oco”, enquanto que um sólido é “maciço”. No que se segue e no software desta atividade, intercambiaremos livremente os termos poliedro e sólido. Não existe perigo de confusão (pelo menos para os objetos que aqui estudaremos), pois um sólido fica definido sem ambiguidades a partir da descrição de sua superfície (isto é, da sua “casca”, que é o poliedro correspondente) e vice-versa [Hoffmann, 1989].

Definição (Poliedros Convexos Regulares: Os Sólidos Platônicos). Um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. [Lima et alii, 2006].

Busto de Platão pertencente ao Museu do Vaticano.
Busto de Platão pertencente ao Museu do Vaticano.

É possível demonstrar que existem apenas cinco poliedros convexos regulares, os sólidos platônicos: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Os nomes dos sólidos platônicos foram dados devido a forma pela qual Platão (427 a.C.-34 a.C.), em um diálogo intitulado Timeu, os empregou para explicar a natureza.

Definição (Poliedros Convexos Semirregulares: Os Sólidos Arquimedianos). Um sólido arquimediano é um poliedro convexo cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo e cujos vértices são todos congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo (número e ordem) de polígonos em torno de cada vértice. [Cundy e Rollett, 1974].

Retrato de Arquimedes na Medalha Fields
Retrato de Arquimedes na Medalha Fields.

É possível demonstrar que existem apenas treze sólidos arquimedianos: o tetraedro truncado, o cuboctaedro, o octaedro truncado, o cubo truncado, o (pequeno) rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado (ou o grande rombicuboctaedro), o cubo achatado, o icosidodecaedro, o icosaedro truncado, o dodecaedro truncado, o (pequeno) rombicosidodecaedro, o icosidodecaedro truncado (ou o grande rombicosidodecaedro) e o dodecaedro achatado.

Definição (Sólidos de Catalan). Os sólidos de Catalan são os poliedros duais dos sólidos arquimedianos [Cromwell, 1997].

Retrato de Eugène Charles Catalan.
Retrato de Eugène Charles Catalan.

O nome é uma homenagem ao matemático belga Eugène Charles Catalan que publicou um artigo em 1865 descrevendo estes sólidos. As faces dos sólidos de Catalan não são regulares.

Definição (Sólidos de Johnson). Os sólidos de Johnson são poliedros convexos cujas faces constituem polígonos regulares e todas as arestas possuem o mesmo comprimento, excluindo-se os sólidos platônicos, os sólidos arquimedianos e as duas famílias infinitas de prismas e antiprismas [Weisstein, 2009].

Retrato de Norman Johnson.
Retrato de Norman Johnson.

O nome é uma homenagem ao matemático Norman Johnson que, em 1966, conjecturou a existência de apenas 92 sólidos satisfazendo a definição acima. Em 1969, o também matemático Victor Zalgaller provou que a lista de Johnson era completa.

Retrato de Victor Zalgaller.
Retrato de Victor Zalgaller.

Definição (Prismas). Um prisma é um poliedro convexo que possui duas faces congruentes, chamadas de bases, e cujas faces restantes, chamadas faces laterais, são compostas por paralelogramos [Weisstein, 2009]. Um prisma reto é aquele em que as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto, as faces laterais são formadas por retângulos. Um prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases. Um prisma regular é aquele cujas bases são polígonos regulares (alguns autores exigem que um prisma regular também seja reto).

As bases de um prisma definem o seu nome. Por exemplo, se as bases forem quadradas, diz-se que o prisma é quadrangular. Os duais dos prismas são os diamantes (também conhecidos como bipirâmides). Existem infinitos prismas, mesmo regulares.

Definição (Antiprismas). Um antiprisma é um poliedro convexo formado por duas cópias paralelas de um mesmo polígono convexo, as bases, que são conectadas por uma faixa de polígonos triangulares, as faces laterais [Weisstein, 2009]. Os vértices do antiprisma são dados pelos vértices de suas bases.

O número de lados das bases definem o nome do antiprisma. Três lados formam um antiprisma triangular. Cinco lados, um antiprisma pentagonal, e assim por diante. Alguns autores exigem, além das condições estabelecidas na definição acima, que o poliedro tenha todas as faces regulares. Existem infinitos antiprismas, mesmo regulares. Se as bases possuem n lados, então existem 2n faces laterais (triangulares). Os duais dos antiprismas são os trapezoedros (também conhecidos como deltoedros). Os antiprismas foram apresentados por Johannes Kepler, em 1619, no seu livro “A Harmonia dos Mundos”.



DUALIDADE

Dizemos que dois poliedros convexos P e D são duais um do outro se existe uma bijeção f da família de vértices e faces de P na família de vértices e faces de D, que satisfaz às seguintes propriedades: (1) se V é um vértice de P, então f(V) é uma face de D; (2) se F é uma face de P, então f(F) é um vértice de D e (3) V é vértice da face F de P se, e somente se, f(F) é vértice da face f(V) de D [Grünbuam & Shephard, 1988].

O cubo e o octaedro são exemplos de poliedros duais. Na figura abaixo, encontra-se um diagrama que explicita uma bijeção entre as famílias de vértices e faces de cada poliedro: a associação entre os vértices do cubo e as faces do octaedro está indicada por números e a associação entre as faces do cubo e os vértices do octaedro está indicada por letras. Note que um poliedro pode ter mais de um dual. Por exemplo, um octaedro não regular também é um dual do cubo.

O cubo e o octaedro são poliedros duais!

Para o caso particular dos sólidos platônicos, existe uma maneira muito natural de se construir uma bijeção entre um sólido platônico com um de seus duais: dado um sólido platônico P, considere o poliedro convexo D cujos vértices são os centros das faces de P e cujas faces são polígonos convexos com vértices nos centros das faces de P, faces estas que concorrem em um mesmo vértice de P. Esta relação geométrica particular já foi percebida por Johannes Kepler (1571-1630) que a explicitou em seu livro “A Harmonia dos Mundos” de 1619.

Johannes Kepler (1571-1630)
Johannes Kepler (1571-1630).
  Página do livro "A Harmonia dos Mundos"
Dualidade dos sólidos platônicos indicada no livro “A Harmonia dos Mundos” de Johannes Kepler.

É importante notar, contudo, que o sistema idealizado por Kepler, via centros das faces, não pode ser aplicado para um poliedro convexo geral. De fato, este é um equívoco comum, cometido até mesmo por livros consagrados de matemática, química e cristalografia. Qual é o problema? Considere, como exemplo, o sólido arquimediano cuboctaedro: os centros das faces que deveriam formar os vértices da face do dual não são coplanares e, portanto, o objeto construído seguindo-se a receita de Kepler não é um poliedro.

O cuboctaedro e seu dual topológico.
O cuboctaedro e seu dual topológico (que não é um poliedro).

Felizmente, existe um algoritmo que obtém um dual de qualquer poliedro convexo. O ponto de partida é o conceito de inversão com relação a uma esfera: escolhida uma esfera de centro em O e raio r, o inverso de um ponto V com relação a esta esfera é o ponto V' sobre a semirreta de origem O e passando pelo ponto V, tal que

d(O, V) · d(O, V') = r2.

Aqui d(O, V) representa a distância entre os pontos O e V. Do mesmo modo, d(O, V') representa a distância entre os pontos O e V'. Note que V' depende da esfera escolhida inicialmente e que ele está bem definido para todo ponto V diferente de O. Mais ainda: se V está no interior da esfera, então V' está no exterior da esfera e se V está no exterior da esfera, então V' está no interior da esfera. Quando V está sobre a superfície da esfera, ocorre que V' = V.

Inversão com relação a uma esfera.
V' é o inverso de V com relação a esfera.

Para cada ponto V diferente de O, vamos agora associar o plano que passa por V' e que é perpendicular ao segmento que liga O a V'. Quando V for um vértice de um poliedro, este plano conterá a face do poliedro dual associado a V. Se V e W são vértices adjacentes de um poliedro, isto é, se V e W são extremidades de uma aresta do poliedro primal, então a interseção dos planos passando por V' e W' conterá a respectiva aresta do poliedro dual. Aplicando-se este processo para os vários vértices do poliedro dual, obtêm-se as faces, arestas e vértices do poliedro dual.

Invesão com relação a uma esfera.
Construção das faces e arestas do poliedro dual.

Escolhas diferentes de esferas geram duais diferentes. A figura da esquerda, abaixo, exibe um dual de um tetraedro regular usando a esfera inscrita do tetraedro regular como esfera de inversão. Neste caso, o dual também é um tetraedro regular e ele coincide com o dual obtido seguindo-se a receita de Kepler. Já a figura da direita usa uma esfera cujo centro não coincide com o centro do tetraedro regular. O dual obtido é ainda um tetraedro, mas ele não é mais regular.

Dual de um tetraedro regular.
Um dual do tetraedro regular.
    Dual de um tetraedro regular.
Outro dual do tetraedro regular.


REFERÊNCIAS

Boissonnat, J.-D.; Yvinec, M. Algorithmic Geometry. Cambridge University Press, 2008.

Cromwell, P. R. Polyhedra. One The Most Charming Chapters of Geometry. Cambridge University Press, 1997.

Cundy, H. M.; Rollet, A. P. Mathematical Models. Second Edition. Oxford Univeristy Press, 1961.

Eppstein, D. Nineteen Proofs of Euler's Formula: V − E + F = 2. Information and Computer Sciences, University of California, Irvine, 2009.

Gailiunas, P.; Sharp, J. Duality of Polyhedra. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 36, no. 6, pp. 617-642, 2005.

Grünbaum, B. Are Your Polyhedra The Same as My Polyhedra?. Em Aronov, B.; Basu, S.; Pach, J.; Sharir, M. (editores). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. Springer-Verlag, pp. 461-588, 2003.

Grünbaum, B.; Shephard, G. C. Is Selfduality Involutory?. The American Mathematical Monthly, vol. 95, n. 8, pp. 729-733, 1988.

Grünbaum, B.; Shephard, G. C. A New Look at Euler's Theorem for Polyhedra. The American Mathematical Monthly, vol. 101, n. 2, pp. 109-128, 1994.

Grünbaum, B.; Shephard G. Duality of Polyhedra. Em Senechal, M; Fleck, G. (editores). Shaping Space – A Polyhedral Approach. Birkhäuser, 1988.

Hoffmann, C. M. Geometric and Solid Modeling: An Introduction. Morgan Kaufmann Publishers, 1989.

Kappraff, J. Connections. The Geometric Bridge Between Art and Science. Second Edition. World Scientific, 2001.

Kepler, J. Harmonices Mundi. Lincii Austriæ, sumptibus Godofredi Tampachii excudebat Ioannes Plancvs, 1619. Disponível gratuitamente em formato eletrônico na Biblioteca Digital da Carnegie-Mellon University.

Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

Lima, E. L. et alii. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

Richeson, D. S. Euler's Gem. The Polyhedron Formula and The Birth of Topology. Princeton University Press, 2008.

Wagner, E. VA + F = 2. Existe o Poliedro?. Revista do Professor de Matemática, n. 47, pp. 5-11, 2001.

Weisstein, E. W. MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/, 2009.


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